【北师大版文科】2020年高考数学一轮复习学案 第4章 第4节 数系的扩充与复数的引入.doc

《【北师大版文科】2020年高考数学一轮复习学案 第4章 第4节 数系的扩充与复数的引入.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四节　数系的扩充与复数的引入[考纲传真]　1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算．(对应学生用书第63页)[基础知识填充]1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数z的实数，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c

2、，d∈R)．(5)复数的模：设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离

3、OZ

4、叫作复数z的模式绝对值．即

5、z

6、＝

7、a＋bi

8、＝.2．复数的几何意义复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量＝(a，b)．3．复数的四则运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.则z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.＝＝＋i(c＋di≠0)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，

9、虚部为bi.(　　)(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．(　　)(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(教材改编)如图441，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　)图441A．A　　　B．BC．CD．DB　[共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C　[∵z＝i(－2＋i)＝

10、－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C．]4．(2016·北京高考)复数＝(　　)A．iB．1＋iC．－iD．1－iA　[法一：＝＝＝i.法二：＝＝＝i.]5．复数i(1＋i)的实部为________．－1　[i(1＋i)＝－1＋i，所以实部为－1.](对应学生用书第64页)复数的有关概念　(1)(2016·全国卷Ⅲ)若z＝4＋3i，则＝(　　)A．1　　　　B．－1C．＋iD．－i(2)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．(1)D　(2)－2　[(1)∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，

11、z

12、＝

13、＝5，∴＝＝－i.(2)由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.][规律方法]　1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解．[变式训练1]　(1)(2017·合肥二次质检)已知i为虚数单位，复数z＝的虚部为(　　)【导学号：00090142】A．－　　　B．－　　　C．　　　D

14、．(2)设z＝＋i，则

15、z

16、＝(　　)A．B．C．D．2(1)D　(2)B　[(1)复数z＝＝＝＝＋i，则其虚部为，故选D．(2)z＝＋i＝＋i＝＋i，

17、z

18、＝＝.]复数代数形式的四则运算　(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　)A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i(2)(2016·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．(1)C　(2)2　[(1)∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝＝1－i，∴z＝2－i，故选C．(2)∵(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，∴1＋

19、b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，∴＝2.][规律方法]　1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；(3)＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N)．[变式训练2]　(1)已知＝1＋