【北师大版文科】2020年高考数学一轮复习学案 第4章 第1节 平面向量的概念及线性运算.doc

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1、第一节　平面向量的概念及线性运算[考纲传真]　1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．(对应学生用书第57页)[基础知识填充]1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向

2、相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<

9、0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λA．[知识拓展]1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．3.＝x＋y(x，y为实数)，若点A，B，C共线，则x＋y＝1.4．△ABC中，＋＋＝

10、0⇔点P为△ABC的重心．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)(2)若a∥b，b∥c，则a∥C．(　　)(3)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件．(　　)(4)△ABC中，D是BC的中点，则＝(＋)．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)A．＝－＋B．＝－C．＝＋D．＝－A　[＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋

11、.故选A．]3．(2018·长春模拟)设点P是△ABC所在平面内一点，且＋＝2，则＋＝________.0　[因为＋＝2，由平行四边形法则知，点P为AC的中点，故＋＝0.]4．(教材改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)．b－a　－a－b　[如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－B．]5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.－　[由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，∴得](对应

12、学生用书第58页)平面向量的有关概念　给出下列六个命题：①若

13、a

14、＝

15、b

16、，则a＝b或a＝－b；②若＝，则ABCD为平行四边形；③若a与b同向，且

17、a

18、>

19、b

20、，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线；⑤λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；⑥a，b为非零向量，a＝b的充要条件是

21、a

22、＝

23、b

24、且a∥B．其中假命题的序号为________.【导学号：00090124】①②③④⑤⑥　[①不正确．

25、a

26、＝

27、b

28、.但a，b的方向不确定，故a，b不一定是相等或相反向量；②不正确．因为＝，A，B，C，D可能在同一

29、直线上，所以ABCD不一定是四边形．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．⑤不正确．当λ＝1，a＝0时，λa＝0.⑥不正确．对于非零向量a，b，a＝b的充要条件是

30、a

31、＝

32、b

33、且a，b同向．][规律方法]　1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法.2．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无

34、关．3．若a为非零向量，则是与a同向的单位向量，－是与a反向的单位向量．[变式训练1]　设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝

35、a

36、a0；②若a与a0平行，则a＝

37、a

38、a0；③若a与a0平行且

39、a

40、＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　)A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3D　[向量是既有大小又有方向的量，a与

41、a

42、a0的模相同，但方向不一定相同，故