【北师大版理科】2020年高考数学一轮复习学案 第4章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例.doc

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1、第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例[考纲传真] (教师用书独具)1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.(对应学生用书第74页)[基础知识填充]1.平面向量的数量积(1)向量的夹角①定义:已知两个非零向量a和b,如图431,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)

2、叫作a与b的夹角.图431②当θ=0°时,a与b同向.当θ=180°时,a与b反向.当θ=90°时,a与b垂直.(2)向量的数量积定义:已知两个向量a与b,它们的夹角为θ,则数量

3、a

4、

5、b

6、cosθ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=

7、a

8、

9、b

10、cosθ,由定义可知零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.(3)数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度

11、a

12、与b在a的方向上的射影

13、b

14、cosθ的乘积,或b的长度

15、b

16、与a在b方向上射影

17、a

18、cosθ的乘积.2.平面向量数量积的运算律(1)交换律:a·b=b·a;(2)数乘结合律:

19、(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.3.平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=〈a,b〉.结论几何表示坐标表示模

20、a

21、=

22、a

23、=数量积a·b=

24、a

25、

26、b

27、cosθa·b=x1x2+y1y2夹角cosθ=cosθ=a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0

28、a·b

29、与

30、a

31、

32、b

33、的关系

34、a·b

35、≤

36、a

37、

38、b

39、

40、x1x2+y1y2

41、≤·[知识拓展] 两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线.[

42、基本能力自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数,向量的数乘运算的运算结果是向量.(  )(2)由a·b=0,可得a=0或b=0.(  )(3)向量a⊥b的充要条件:a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.(  )(4)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.(  )(5)a·b=a·c(a≠0),则b=c.(  )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2.(2016·全国卷Ⅲ)已知向量=,=,则∠ABC=(  )A.30°     

43、 B.45°C.60°D.120°A [因为=,=,所以·=+=.又因为·=

44、

45、

46、

47、cos∠ABC=1×1×cos∠ABC,所以cos∠ABC=.又0°≤∠ABC≤180°,所以∠ABC=30°.故选A.]3.向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=(  )A.-1B.0C.1D.2C [法一:∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴a2=2,a·b=-3,从而(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1.法二:∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),从而(2a+b)·a=(1,

48、0)·(1,-1)=1,故选C.]4.(教材改编)已知

49、a

50、=5,

51、b

52、=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的投影为________.-2 [由数量积的定义知,b在a方向上的投影为

53、b

54、cosθ=4×cos120°=-2.]5.(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=________.7 [∵a=(-1,2),b=(m,1),∴a+b=(-1+m,2+1)=(m-1,3).又a+b与a垂直,∴(a+b)·a=0,即(m-1)×(-1)+3×2=0,解得m=7.](对应学生用书第7

55、5页)平面向量数量积的运算 (1)(2017·南宁二次适应性测试)线段AD,BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC,AC边上的高,则·=(  )A.-   B.   C.-   D.(2)(2017·北京高考)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则·的最大值为________.【导学号:79140156】(1)A (2)6 [(1)由等边三角形的性质得

56、

57、=

58、

59、=,〈,〉=120°,所以·=

60、

61、

62、

63、cos〈,〉=××=-,故选A.(2)法一:根据题意作出图像,如图所示,A(-2,0),P(x,y).由点P向x轴作

64、垂线交x轴于点Q,则点Q的坐标为(x,0).·=

65、

66、

67、

68、cosθ,

69、

70、=2,

71、

72、=,cosθ==,所以·=2(x+2)=2

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