【北师大版理科】2020年高考数学一轮复习学案 第3章 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理.doc

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1、第六节　正弦定理和余弦定理[考纲传真]　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(对应学生用书第50页)[基础知识填充]1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc·cos_A；b2＝c2＋a2－2ca·cos_B；c2＝a2＋b2－2ab·cos_C公式变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝cosA＝；cosB＝；cosC＝2.在△ABC中，已知a、b

2、和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．[知识拓展]1．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(2)sin＝cos；(4)cos＝sin.3．在△ABC中，sinA＞sinB⇔A＞B⇔a＞bc

3、osA＞cosB⇔A＜B⇔a＜b[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，若A＞B，则必有sinA＞sinB．(　　)(2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．(　　)(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝45°或135°.(　　)(4)在△ABC中，＝.(　　)[解析]　(1)正确．A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB．(2)错误．由cosA＝＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．(3)错误．由b＜a知，B＜A．(4)正确．利用a＝2

4、RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，可知结论正确．[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．(教材改编)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是(　　)A．锐角三角形　　B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定C　[由正弦定理，得＝sinA，＝sinB，＝sinC，代入得到a2＋b2＜c2，由余弦定理得cosC＝＜0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝(　　)A．　　　　　B．C

5、．2　　　　　D．3D　[由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D．]4．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C．已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.75°　[如图，由正弦定理，得＝，∴sinB＝.又c>b，∴B＝45°，∴A＝180°－60°－45°＝75°.]5．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________.【导学号：00090109】2　[由题意及余弦定理得cosA＝＝＝，解得c＝2，所以S＝bcsinA＝×4×2×sin

6、60°＝2.](对应学生用书第51页)利用正、余弦定理解三角形　(1)(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C．已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　)A．　　　　　B．C．D．(2)在△ABC中，∠BAC＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．B　[(1)因为a＝2，c＝，所以由正弦定理可知，＝，故sinA＝sinC．又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋c

7、osAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C为△ABC的内角，故sinC≠0，则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝.从而sinC＝sinA＝×＝.由A＝知C为锐角，故C＝.故选B．(2)设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝3.又由正弦定理得sinB＝＝＝，由题设知0＜B＜，所以cosB＝＝＝.在△ABD中，因为AD＝B

8、D，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝＝＝＝.][规律方法]　1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比