【北师大版理科】2020年高考数学一轮复习 课时分层训练39 数学归纳法.doc

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1、课时分层训练(三十九)　数学归纳法A组　基础达标一、选择题1．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是(　　)A．1　B．2C．3D．4C　[∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．∴n的第一个取值应是3.]2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于(　　)A．一切正整数命题成立B．一切正奇数命题成立C．一切正

2、偶数命题成立D．以上都不对B　[本题证的是对n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．]3．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为(　　)【导学号：79140216】A.　　　B.C.D．C　[由a1＝，Sn＝n(2n－1)an求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.猜想an＝.]4．对于不等式＜n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式＜k＋1成立，当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1.所以当n＝k＋1时，不

3、等式成立，则上述证法(　　)A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确D　[当n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．]5．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为(　　)A．n＋1B．2nC.D．n2＋n＋1C　[1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．]二、填空题6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当

4、n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为________．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2　[当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.]7．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，依次计算出a2，a3，a4，猜想an＝________.　[a1＝2，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＋1＝.由此猜想an是以分子为2，分母是以首项为1，公差为6的等差数列，所以an＝.]8

5、．凸n多边形有f(n)条对角线．则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)与f(n)的递推关系式为________．f(n＋1)＝f(n)＋n－1　[f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1.]三、解答题9．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N＋，n≥2).【导学号：79140217】[证明]　(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即1＋＋＋…＋<2－.当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－命题成立．由(1)(2)知原不等式在n∈N＋，n≥2时均成立．10．数列{an}满足Sn＝2n－

6、an(n∈N＋)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)证明(1)中的猜想．[解]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝；当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝.由此猜想an＝(n∈N＋)．(2)证明：①当n＝1时，a1＝1，结论成立．②假设n＝k(k≥1且k∈N＋)时，结论成立，即ak＝，那么n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴

7、2ak＋1＝2＋ak.∴ak＋1＝＝＝.所以当n＝k＋1时，结论成立．由①②知猜想an＝(n∈N＋)成立．B组　能力提升11．(2017·昆明诊断)设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，经计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，观察上述结果，可推测出一般结论(　　)A．f(2n)＞B．f(n2)≥C．f(2n)≥D．以上都不对C　[∵f(22)＞，f(23)＞，f(24)＞，f(25)＞，∴当n≥1时，有f(2n)≥.]12．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(