【备战2020高考】高三数学一轮热点难点 专题14 导数法妙解极值、最值问题.doc

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1、考纲要求:1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)．基础知识回顾:1、求函数的极值（1）设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个极大（小）值.（2）求函数的极值的一般步骤先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值.一般地，函数在点连续时，如果附近左侧>0，右侧<0，那么是极大值.一般地，函数在点连续时，如果附近左侧<0，

2、右侧>0，那么是极小值.（3）极值是一个局部概念.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（5）一般地，连续函数在点处有极值是=0的充分非必要条件.（6）求函数的极值一定要列表.2、用导数求函数的最值（1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：①求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根

3、）；②比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值.应用举例类型一、知图判断函数极值【例1】【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三第八次模拟考试】如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数A．有极小值，没有极大值B．有极大值，没有极小值C．至少有两个极小值和一个极大值D．至少有一个极小值和两个极大值【答案】C结合函数的图像，可以得到至少有两个极小值和一个极大值，故选C.【点睛】该题考查的是有关利用函数图像解题的问

4、题，在解题的过程中，需要认真分析，读出图中所给的相关信息，对函数求导，分析与k的关系，从而判断出函数的极值点的个数，得到结果.【例2】【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】如图，可导函数在点处的切线为，设，则下列说法正确的是（）A．是的极大值点B．是的极小值点C．不是的极值点D．是的极值点【答案】B类型二、正向思维：已知解析式求极值或最值【例3】【2017山东济南市高三摸底考试】设函数f(x)＝alnx－bx2(x＞0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，(1)求实数a，b的值；(2)

5、求函数f(x)在上的最大值．【答案】；－.【例4】【2017江西吉安一中高三月考】已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．【答案】x＋y－2＝0.；（2）见解析；【解析】由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x＞0)，因为f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(

6、x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－＝，x＞0知：①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．类型三、逆向思维：已知极值或最值求参数的值或范

7、围【例5】【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷（四）】函数在内存在极值点，则（）A．B．C．或D．或【答案】A②当在恒成立时，则且，得；综上，无极值时或.∴在在存在极值.故选A．【点睛】（1）可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同；（2）若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调递增或减的函数没有极值.【例6】【安徽省淮北部分校2019届高三上学期开学联考】若函数在内有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C类型四、函数极

8、值与最值的综合性问题【例7】【河北省衡水中学滁州分校2017-2018学年高二6月调研考试】已知函数，.若在处与直线相切.（1）求，的值；（2）求在上的极值.【答案】（1）；（2）最大值为．【解析】【分析】（1）根据导数定义及切线方程的斜率，可求得参数a、b的值.（2）根据导数定义，判断函数单调性，进而可求得函数在上的极值.【详解】（1）．由函数在处与直线相切，得，即，解得：．（2）由（1）得：，定义域为．此时，，令，解得，令，得．所以在上