【备战2020高考】高三数学一轮热点难点 专题13 导数法巧解单调性问题.doc

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1、考纲要求:1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).基础知识回顾:用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0（2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求,得函数的单调递增（减）区间.一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区

2、间是减函数（3）单调性的应用（已知函数单调性）一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数≥【注】①求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式＞（＜)0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间.②已知函数的增（减）区间，应得到≥（≤）0，必须要带上等号.③求函数的单调增（减）区间，要解不等式＞0，此处不能带上等号.④单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“”连接.应用举例:类型一、判断或证明函数的单调性【例1】1．【河南

3、省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试】设函数.（1）讨论的单调性；（2）设，当时，，求的取值范围.【答案】(1)见解析(2)②当时，，所以在单调递增，③当时，；当时，；当时，；∴在单调递增，在单调递减；（2）令，有，令，有，当时，单调递增．∴，即．当，即时，在单调递增，，不等式恒成立，②当时，有一个解，设为根，∴有单调递减；当时，单调递增，有，∴当时，不恒成立；综上所述，的取值范围是．【例2】【2018年高考考前猜题卷之专家猜题卷】已知曲线的一条切线过点.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若，.①讨论函数的单调性；②当时，

4、求证：.【答案】(1);(2)①见解析.②见解析.【解析】【分析】(1)求出，设切点为，则切线方程为，由切线过点，可得，利用导数可得的最大值，从而可得结果；（2）①求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；②要证明，只需证明，而，所以成立.（2）当时，，∵，∴，.①（i）当时，在区间上是减函数，在区间上是增函数；（ii）当时，在区间上是减函数，在区间，上是增函数；（iii）当时，在区间上是增函数；（iv）当时，在区间上是减函数，在区间，上是增函数.②证明：当时，，要

5、证明，只需证明，而，所以成立.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的单调性，属于难题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)己知斜率求切点即解方程；(3)巳知切线过某点(不是切点)求切点,设出切点利用求解.类型二、求函数的单调区间【例3】【江苏省苏州市第五中学校2018届高三上学期期初考试】设函数，其中N，≥2，且R．（1）当，时，求函数的单调区间；（2）当时，令，若函数有两个极值点，，且，求的取值范围；（3）当时，试求函数的零点个数，并

6、证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【详解】（1）依题意得，，，∴．令，得；令，得．则函数在上单调递减，在上单调递增．（2）由题意知：．则，令，得，故方程有两个不相等的正数根，（），则解得．由方程得，且．由，得．，．，即函数是上的增函数，所以，故的取值范围是．∵，∴，又∵，∴，根据零点存在性定理知函数在和各有一个零点．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及零点存在性定理，是一道中档题.【例4】【山东省临沂市沂水县第一中学2018届高三第三轮考试】已知函数.（1）若函数在点处切线的斜率为

7、4，求实数的值；（2）求函数的单调区间；（3）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.【答案】（1）6；（2）单调递减区间是，单调递增区间是；（3）【详解】（1），而，即，解得.（2）函数的定义域为.①当时，，的单调递增区间为；②当时，.当变化时，的变化情况如下:由此可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.（3），于是.因为函数在上是减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立.又因为函数的定义域为，所以有在[上恒成立.于是有，设，则，所以有，，当时，有最大值，于是要使在上恒成立，只需，即实数的取值范围是.类型三、已知函数的单调性求

8、参数的范围【例5】【名校联盟2018年高考第二次适应与模拟】已知函数.（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）对于任意的正实数，且，求证：.【答案】(1);(2)见解析.【详解】（1）依题意，导数对于任意恒成立，即不等式对于任意恒成立，即不等式对于任意恒成立;