【高考调研】2020版大一轮复习新课标 数学理题组训练 选考部分 选修系列4题组78含解析.doc

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1、题组层级快练(七十八)1．设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是(　　)A．(a＋3)2<2a2＋6a＋11B．a2＋≥a＋C．

2、a－b

3、＋≥2D.－<－答案　C解析　(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－2<0，故A恒成立；在B项中不等式的两侧同时乘以a2，得a4＋1≥a3＋a⇐(a4－a3)＋(1－a)≥0⇐a3(a－1)－(a－1)≥0⇐(a－1)2(a2＋a＋1)≥0，所以B项中的不等式恒成立；对C项中的不等式，当a>b时，恒成立，当a

4、选C.2．(2016·湖北教学合作联考)设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝2，2a＋b＝8，则＋的最大值为(　　)A．2　　　　　　　　　　B．3C．4D．log23答案　B解析　由ax＝by＝2得x＝loga2，y＝logb2，∴＋＝＋＝log2a＋log2b＝log2(ab)．又∵a>1，b>1，∴8＝2a＋b≥2，即ab≤8，当且仅当2a＝b，即a＝2，b＝4时取等号．所以＋＝log2(ab)≤log28＝3.故(＋)max＝3.3．(2016·湖北八校第二次联考)若2x＋3y＋5z＝29，则函数u＝＋＋的最大值为

5、(　　)A.B．2C．2D.答案　C解析　由柯西不等式得u2＝(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(2x＋1＋3y＋4＋5z＋6)＝3(2x＋3y＋5z＋11)＝3×(29＋11)＝120，∴u＝2，故选C.4．已知x，y均为正数，且x＋y＝2，则x＋4＋4y的最大值是(　　)A．8B．9C．10D．11答案　C解析　x＋4＋4y＝(＋2)2≤(12＋22)[()2＋()2]＝5(x＋y)＝5×2＝10.∴x＋4＋4y≤10.当且仅当1×＝2.即y＝4x(x>0)时等号成立．解得x＝符合x>0，∴x＋4＋4y的

6、最大值为10，故应选C.5．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．答案　2解析　(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝n＝时等号成立)．6．(2016·沧州七校联考)若logxy＝－2，则x＋y的最小值为________．答案　解析　由logxy＝－2，得y＝.而x＋y＝x＋＝＋

7、＋≥3＝3＝，当且仅当＝即x＝时取等号．所以x＋y的最小值为.7．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________．答案　解析　方法一：(＋＋)2＝a＋b＋c＋2＋2＋2≤a＋b＋c＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3.当且仅当a＝b＝c时取等号成立．方法二：柯西不等式：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.8．(2016·湖北名校联盟)若x2＋y2＝1，则x＋2y的最大值为________．答案　解析　方法一：(柯西不等式法)5＝1×5＝(x2＋y2)(12＋22)

8、≥(x＋2y)2，∴－≤x＋2y≤，因此x＋2y的最大值为.方法二：(几何法)令z＝x＋2y，则直线x＋2y－z＝0与圆x2＋y2＝1有公共点，圆心到直线的距离d＝≤1⇒

9、z

10、≤，解得－≤x＋2y≤，因此x＋2y的最大值为.方法三：(三角换元法)设x＝sinθ，y＝cosθ，则x＋2y＝sinθ＋2cosθ＝sin(θ＋φ)，其中tanφ＝2，且φ∈(0，)，由于－1≤sin(θ＋φ)≤1，因此－≤sin(θ＋φ)≤，即x＋2y的最大值为.9．函数y＝＋的最大值等于________．答案　2解析　y2＝(x－1)＋(5－x)＋2＝

11、4＋2≤4＋[(x－1)＋(5－x)]＝8，当且仅当x－1＝5－x，即x＝3时取“＝”．∴y≤2.即原函数的最大值为2.10．若a>0，b>0，且＋＝，则a3＋b3的最小值为________．答案　4解析　∵a>0，b>0，且＋＝，由基本不等式得＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当a＝b＝时取等号，a3＋b3≥2≥2＝4.11．(2016·江苏南通)已知x>0，y>0，a∈R，b∈R.求证：()2≤.答案　略证明　因为x>0，y>0，所以x＋y>0.所以要证()2≤，即证(ax＋by)2≤(x＋y)(a2x＋b2y)，即证xy(a2－2

12、ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立．故()2≤.12．(2014·江苏)已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.答案　略证明　因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3>0，1＋x2＋y≥3