【师说】2017高考数学（理科）二轮专题复习 课时巩固过关练十七 圆锥曲线中的热点问题 含解析.doc

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1、课时巩固过关练(十七)　圆锥曲线中的热点问题　　　　　　　　　　　一、选择题1．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)A.B.C．3D．2解析：解法一：设椭圆方程为＋＝1(a1>b1>0)，离心率为e1，双曲线的方程为－＝1(a2>0，b2>0)，离心率为e2，它们的焦距为2c，不妨设P为两曲线在第一象限的交点，F1，F2分别为左，右焦点，则易知解得在△F1PF2中，由余弦定理得(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)·(a1－a2)cos60°

2、＝4c2，整理得a＋3a＝4c2，所以＋＝4，即＋＝4.设a＝，b＝，∴＋＝a·b≤

3、a

4、·

5、b

6、＝×＝×＝，故＋的最大值是，故选A.解法二：不妨设P在第一象限，

7、PF1

8、＝m，

9、PF2

10、＝n.在△PF1F2中，由余弦定理得m2＋n2－mn＝4c2.设椭圆的长轴长为2a1，离心率为e1，双曲线的实轴长为2a2，离心率为e2，它们的焦距为2c，则＋＝＝＝.∴2＝＝＝，易知2－＋1的最小值为.故max＝.故选A.答案：A2．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)A．5B.＋C．7＋D．6解析：设

11、Q(cosθ，sinθ)，圆心为M，由已知得M(0,6)，则

12、MQ

13、＝＝＝＝≤5，故

14、PQ

15、max＝5＋＝6.答案：D3．(2016·广东深圳一模)过点(0,2b)的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　)A．(1,2]B．(2，＋∞)C．(1,2)D．(1，)解析：由题意得，直线l的方程为y＝x＋2b，即bx－ay＋2ab＝0，因为双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，所以直线l与bx－ay＝0的距离恒大于或等于b，所以≥b，

16、即3a2≥b2，∴≤3，∴e2＝1＋≤4，又∵e>1，∴1b>0)，P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若

17、OQ

18、＝2b，椭圆的离心率为e，则的最小值为(　　)A.B.C.D．1解析：如图所示，设∠F1PF2的外角平分线为PT，则F2Q⊥PT，延长F2Q交F1P的延长线于M.∵PT为∠F2PM的平分线，且PQ⊥F2M，∴△F2PM为等腰三角形，且

19、PM

20、＝

21、PF2

22、，由椭圆定义知

23、PF1

24、＋

25、P

26、F2

27、＝2a，∴

28、PM

29、＋

30、PF1

31、＝

32、F1M

33、＝2a.又∵O为F1F2的中点，Q为F2M的中点，∴

34、OQ

35、＝

36、F1M

37、，∴

38、OQ

39、＝a，又

40、OQ

41、＝2b，∴a＝2b，∴e＝＝.∴＝＝2b＋≥2＝，当且仅当2b＝，即b＝时，取得等号，故选C.答案：C二、解答题5．如图，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.解：(1)设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0)，由消去y得(b

42、2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0.由于l与C只有一个公共点，故Δ＝0，即b2－m2＋a2k2＝0，解得点P的坐标为.又点P在第一象限，故点P的坐标为.(2)由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，所以点P到直线l1的距离d＝，整理得d＝.因为a2k2＋≥2ab，所以≤＝a－b，当且仅当k2＝时等号成立．所以，点P到直线l1的距离的最大值为a－b.6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点P(0,1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐

43、标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意得解得a2＝2.故椭圆C的方程为＋y2＝1.设M(xM,0)．因为m≠0，所以－1

44、xM

45、

46、xN

47、.因为xM＝，xN＝，＋n

48、2＝1，所以y＝

49、xM

50、

51、xN

52、＝＝2.所以yQ＝或yQ＝－.故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ.点Q的坐标为(0