【苏教版】2020版高考探究理数一轮优化练习 第十章 第四节　直接证明与间接证明 含解析.doc

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1、一、填空题1．给出下列命题：①ab，c>d，abcd≠0⇒>；④a>b>0，c>d>0⇒>.其中为真命题的是________．(填所有正确命题的代号)解析：利用不等式的性质，根据条件利用综合法可知①②④正确，③不正确．答案：①②④2．已知函数f(x)＝()x，a，b是正实数，A＝f()，B＝f()，C＝f()，则A、B、C的大小关系为________．解析：∵≥≥，又f(x)＝()x在R上是减函数，∴f()≤f()≤f()，即A≤B≤C.答案：A≤B≤C3．设m，n为两条线，α，β为两个平面，给出下列四个命题：①

2、⇒m∥β；②⇒n∥β；③⇒m，n异面；④⇒m⊥β.其中真命题是________．解析：对于命题②，也可能n⊂β，故②错误；对于命题③直线m、n也可能平行或相交，故③错误；对于命题④，m与β也可能平行，故④错误；命题①正确．答案：①4．设a＝－，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小顺序是________．解析：∵a＝－＝，b＝－＝，c＝－＝，∴若比较a，b，c的大小，只要比较＋，＋，＋的大小．∵＋>＋>＋>0，∴<<，∴cb>c5．设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数________．①至少有一个不大于2②都小

3、于2③至少有一个不小于2④都大于2解析：a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，因此a，b，c至少有一个不小于2.答案：③6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有

4、f(x1)－f(x2)

5、<

6、x1－x2

7、，求证：

8、f(x1)－f(x2)

9、<.那么他的反设应该是________．解析：该命题为全称命题，其否定为特称命题．答案：“存在x1，x2∈[0,1]，使得

10、f(x1)－f(x2)

11、<

12、x1－x2

13、且

14、f(x1)－f(x2)

15、≥”7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，x＝

16、S＋S，y＝Sn(S2n＋S3n)，则x与y的大小关系为________．解析：由条件知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，所以Sn(S3n－S2n)＝(S2n－Sn)2，展开整理得S＋S＝Sn(S2n＋S3n)，所以x＝y.答案：x＝y8．如果a＋b>a＋b，则a、b应满足的条件是________．解析：a＋b>a＋b⇔(－)2(＋)>0⇔a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b9．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则下列说法正确的是________．①△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形

17、②△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形③△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形④△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形解析：由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．由，得.那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，所以△A2B2C2是钝角三角形．答案：④二、解答题10．设a，b均为正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.证明：证法一(分析法)要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，只需证(a＋b)(a2－ab＋b

18、2)>ab(a＋b)成立．又因为a＋b>0，只需证a2－ab＋b2>ab成立．只需证a2－2ab＋b2>0成立，即需证(a－b)2>0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，由此命题得证．证法二(综合法)a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2>0⇒a2－2ab＋b2>0⇒a2－ab＋b2>ab.(*)而a，b均为正数，∴a＋b>0，由(*)式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，∴a3＋b3>a2b＋ab2.11．已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一

19、个方程有两个相异实根．证明：假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.上述三个式子相加得：a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0.即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.由已知a，b，c是互不相等的非零实数，∴上式“＝”不能同时成立，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，与事实不符，∴假设不成立，原结论成立．即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．12．已知数列{an}满足：a1＝，＝，anan＋1<0(n≥1)，数列{bn}满足：bn＝a－a(n≥1

20、)．(1)