二次函数专题二：面积问题.doc

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1、二次函数专题二：面积问题1、（2012石景山一模第25题8分）25．已知二次函数中，m为不小于0的整数，它的图像与x轴交于点A和点B，点A在原点左边，点B在原点右边．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点C是抛物线与轴的交点，已知AD=AC（D在线段AB上），有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度移动，同时，另一动点Q从点C出发，以某一速度沿线段CB移动，经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情况下，求四边形ACQD的面积．25.（1）∵二次函数的图像与x轴有两个交点，∴∴.………….1分∵m为不小于0的整数，∴m取0、1.………….2分

2、当m=1时，，图像与x轴的两个交点在原点的同侧，不合题意，舍去；当m=0时，，符合题意.∴二次函数的解析式为：…………..3分（2）∵AC=AD，∴∠ADC=∠ACD∵CD垂直平分PQ，∴DP=DQ，∴∠ADC=∠CDQ.∴∠ACD=∠CDQ，∴DQ∥AC∴△BDQ∽△BAC，∴…………..4分∵AC=，BD=，AB=4.∴DQ=，…………..5分∴PD=.∴AP=AD-PD=，∴t=…………..6分（3）∵△BDQ∽△BAC∴易求，∴………..7分∴.…………8分2、（2012顺义一模25题8分）24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2mx+n经过点A（-4，0）

3、和点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）向右平移上述抛物线，若平移后的抛物线仍经过点B，求平移后抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，记平移后点A的对应点为A’，点B的对应点为B’，试问：在平移后的抛物线上是否存在一点P，使的面积与四边形AA’B’B的面积相等，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．24．解：（1）∵抛物线y=mx2+2mx+n经过点A（-4，0）和点B（0，3），∴∴．∴抛物线的解析式为：．…………………………2分（2）令，得，得，，∵抛物线向右平移后仍经过点B，∴抛物线向右平移2个单位．………3分∵．…………4分∴平移后的抛物线解析式为．……………

4、………5分（3）由抛物线向右平移2个单位，得，．∴四边形AA’B’B为平行四边形，其面积．设P点的纵坐标为，由的面积=6，∴，即∴，．…………………………………………………6分当时，方程无实根，当时，方程的解为，．∴点P的坐标为或．………………………………7分Ox3、（2012通州一模23题7分）23．已知二次函数（1）求证：无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点.（2）当x≥2时，函数值随的增大而减小，求的取值围.（3）以二次函数图象的顶点为一个顶点作该二次函数图象的接正三角形（M，N两点在二次函数的图象上），请问：△的面积是与a无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不

5、是，请说明理由.23.解：（1）无论a为何实数…………………………(1分)∴抛物线与x轴总有两个交点……………………………………(2分)（2）……………………………………(3分)∴由题意得，（只写<或=其一，不给分）……………(4分)（3）解法一：以二次函数图象的顶点为一个顶点作该二次函数图象的接正三角形（，两点在二次函数的图象上），这个正三角形的面积只与二次函数图形的开口大小有关。二次函数的图象可以看做是二次函数的图象通过平移得到的。如图，正三角形的面积等于正三角形的面积.因此，与a的取值无关点在二次函数的图象上，，，,点在的图象上，舍去......................

6、.......................(5分),........................(6分)正三角形AMN的面积是与a无关的定值,定值为.………..(7分)解法二：根据抛物线和正三角形的对称性，可知轴，设抛物线的对称轴与交于点，则设∴又=4、（2012西城二模第23题7分）23.在平面直角坐标系xOy中，A为第一象限的双曲线（）上一点，点A的横坐标为1，过点A作平行于y轴的直线，与x轴交于点B，与双曲线（）交于点C.x轴上一点位于直线AC右侧，AD的中点为E.(1)当m=4时，求△ACD的面积（用含，的代数式表示）；(2)若点E恰好在双曲线（）上，求m的值；(3)

7、设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，当点D的坐标为时，若△BDF的面积为1，且CF∥AD，求的值，并直接写出线段CF的长.23．解：(1)由题意得A，C两点的坐标分别为，．（如图6）﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍1分∵，，∴点A在第一象限，点C在第四象限，．图6图7图8当m=4时，．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分(2)作EG⊥x轴于点G．（如图7）∵EG∥AB，AD的中点为E，∴△DEG∽△DAB，，G为BD的中点．∵A，B