计算流体力学_对流方程_有限差分法_Lax格式_迎风格式_FTCS格式.doc

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1、有限差分法数值求解一维伯格斯方程作者:潭花林1.引言本文利用有限差分法计算了一维伯格斯方程的初边值问题。采用FTCS格式,并深入讨论了它的相容性、收敛性与稳定。有限差分法在计算流体力学、数值传热学中都有众多的应用,而且可以用于高维情形。所有问题都是采用matlab编程计算。本文只是一个简单的一维问题的算例。关键词:计算流体力学,有限差分法,一维对流方程2.题目用计算机求对流方程的初值问题的数值解(由于对流方程的计算结果只依赖与上游,只需要给出上有的边界条件就可以了)。(1)分别用C格式,Lax格式,FTCS格式在,两种情况下计算。(2)计算围

2、为,取,计算80个时间步长。(3)写出计算报告,容为(I)计算课题(II)计算框图(III)计算程序(IV)计算结果,时的,图(V)体会1.计算原理1.1.迎风格式点采用如下差分格式初值为边界条件为稳定性:差分格式的稳定性:误差方程与差分方程相同设误差为,则放大因子所以为使,应有对于本问题,初值和边界条件并不影响稳定性和收敛性问题。根据Lax等价定理,对于适定的处置问题,只要差分格式相容,稳定的就是收敛的。1.1.Lax格式点采用如下差分格式初值为边界条件为稳定性:差分格式的稳定性:误差方程与差分方程相同设误差为,则放大因子所以为使,应有对于

3、本问题,初值和边界条件并不影响稳定性和收敛性问题。根据Lax等价定理,对于适定的处置问题,只要差分格式相容,稳定的就是收敛的。1.1.FTCS格式点采用如下差分格式初值为边界条件为稳定性:差分格式的稳定性:误差方程与差分方程相同设误差为,则放大因子所以所以该格式是完全不稳定的。1.计算结果及其讨论1.1.时,结果是收敛的1.1.1.时刻,三种格式的处理是相同的,处理结果如图1所示,这是由于还没有开始数值计算。图11.1.1.时刻,计算结果如图2所示,Lax格式和迎风格式的结果几乎是相同的,而FTCS格式却出现了很大的数值震荡。图21.1.2.

4、时刻,计算结果如图3所示,Lax格式和迎风格式的结果几乎是相同的,并且结果已经接近稳态。而FTCS格式却数值震荡更大了,在几百的量级。图31.1.1.时刻,三种格式的处理是相同的,处理结果如图4所示,Lax格式和迎风格式的结果几乎是相同的,并且结果已经接近稳态。而FTCS格式却数值震荡更大了,在十万的量级。图41.2.时,结果是不收敛的1.2.1.时刻,计算结果如图5所示,三种格式的处理是相同的,这是由于还没有开始数值计算。图51.1.1.时刻,计算结果如图6所示,三种格式都出现了不同程度的数值震荡,在之前的稳定性分析中,已经指出,时,即使是

5、迎风格式和Lax格式也是不稳定的,只有几的量级。图61.1.2.时刻,计算结果如图7所示,三种格式都出现了不同程度的数值震荡,在之前的稳定性分析中,已经指出,时,即使是迎风格式和Lax格式也是不稳定的,震荡量级到了几百。图71.1.1.时刻,计算结果如图8所示,三种格式都出现了不同程度的数值震荡,在之前的稳定性分析中,已经指出,时,即使是迎风格式和Lax格式也是不稳定的,震荡量级到几千万。图81.体会在数值计算中,由于计算量很大,不可能通过微分方程的推导就获得解析解,编写程序已经是不可或缺的了。使用Matlab编写程序,虽然计算速度会比C、C

6、++、Fortran等语言慢一些,但是却易于调试。本文中的程序只用了两次就调试成功。差分格式虽然看起来都差不多,但是稳定性的各自不同。FTCS格式虽然具有二阶的精度,但是不收敛,精度再高也没有用。数值震荡在一开始或许并不大,但是随着计算的进行,震荡的量级就不容小觑了。对于显示格式,都是条件稳定的,需要足够小才可以保证稳定条件。本文中的一维方程稳定性条件还不是很苛刻。但是如果问题是二维的,甚至是三维的,需要更小,计算量就会很大。2.致读者文章中多处用到Mathtype输入公式,如果下载,可能会看到乱码,也无法复制。由于是原创性工作,下载需要财富

7、值,敬请谅解。本文的matlab程序已经上传到百度文库,网址为wenku.baidu./view/17aca209bcd126fff7050b4b.html。

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