(选修2—1)2.1曲线与方程(一).ppt

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1、高中数学选修2—1第二章《曲线与方程》授课教师：姚志华——2012年4月5日——2.1.1曲线与方程提出问题:直线的方程与方程的直线的概念是怎样叙述的?一:情景引入（1）以一个方程的解为坐标的点都是其对应直线上的点；（2）直线上的点的坐标都是其对应方程的解。简言之，若方程的解和直线上的点是一一对应的，则称这个方程为这条直线的方程，这条直线称为方程的直线。满足这样的（1）（2）的方程为直线的方程，这条直线称为方程的直线。二：曲线的方程与方程的曲线（1）曲线上的点的坐标都是其对应方程的解；（2）以方程的解为坐标

2、的点都是其对应曲线上的点。纯粹性完备性（一）曲线的方程与方程的曲线的概念二：坐标法的定义（二）坐标法的概念我们把利用坐标系来研究几何图形的方法，叫做坐标法。（三）坐标法解析几何在平面上建立直角坐标系：点一一对应坐标（x，y）曲线坐标化曲线的方程研究用坐标法来研究几何图形，也就是利用代数方法来研究几何问题，形成了数学的一个重要分支—解析几何。平面解析几何研究的主要问题：（1）利用已知条件，求出平面曲线的方程；（2）通过方程研究平面曲线的性质。下面研究如何求曲线的方程。迪卡尔三：例题分析例1设A、B两点的坐标是

3、（-1，-1）、（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程。如何求曲线的方程?方法1：利用现成的结论——直线方程的知识求解。解1：因为,所以所求直线的斜率k=，又因为线段AB的中点坐标为（1，3）所以线段AB垂直平分线的方程依据两点式可以求得x+2y-7=0。三：例题分析例1设A、B两点的坐标是（-1，-1）、（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程。方法2：若没有现成的结论怎么办?──需要掌握一般性的方法。问题1设A、B两点的坐标是（-1，-1）、（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程。我们的目标就是要找

4、x与y的关系式解:设M(x，y)是线段AB的垂直平分线上的任一点,先找曲线上的点满足的几何条件则

5、MA

6、=

7、MB

8、，（1）由上面过程可知，垂直平分线上的任一点的坐标都是方程的解；（2）设点M1（x1，y1）是方程（*）的解，即x1+2y1-7=0，因为上面的变形过程步步可逆，所以所以

9、M1A

10、=

11、M1B

12、，综上所述，所求线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-7=0。第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路，但这种方法有一般性。求曲线的方程可以这样一般地尝

13、试，注意其中的步骤:四：例题总结——方法提炼求曲线的方程（轨迹方程），一般有下面几个步骤:1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M的坐标;2.写出适合条件P的几何点集（限）;3.用坐标表示条件,列出方程（代）；4.化简方程为最简形式；5.证明（查漏除杂）。以上过程可以概括为一句话：建设现（限）代化。例2点M与两条互相垂直的直线的距离的积是常数k(k>0)，求点M的轨迹方程。三：例题分析例3已知一条曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0，2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程。三：例题分析三

14、：例题分析例4已知一条直线和它上方的一个点F,点F到的距离是2，一条曲线也在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。lBFMOxy（x，y）（0，2）三：课堂练习练习1：已知点M与轴的距离和点M与点F（0，4）的距离相等,求点M的轨迹方程。解：设点M的坐标为（x，y）建立坐标系，设点的坐标限（找几何条件）代（把条件坐标化）化简这就是所求的点的轨迹方程。三：思考题如图，已知点C的坐标是（2，2）,过点C直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB

15、与y轴交于点B，设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程。M（x，y）OxyC（2，2）BA三：例题分析例2已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O：x2+y2=1，动点M到圆O的切线长与

16、MQ

17、的比等于常数λ（λ＞0），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？0xyMNQ例2求抛物线y=x2+（2m+1）x+m2-1（m∈R）的顶点的轨迹方程。三：例题分析（2）写出适合条件p的点M的集合P={M│p(M)}；4.1.1求曲线方程的一般步骤（1）建立适当的直角坐标系，用有序实数对例如（x，y)表示曲线上任意

18、一点M的坐标；（3）把曲线上的点所适合的条件p（M）用坐标来表示，列出方程f(x，y)=0；（4）把方程f(x，y)=0化为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.注：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤5可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤2，直接列出曲线的方程。