与函数有关地新定义题型.doc

与函数有关地新定义题型.doc

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1、与函数有关的新定义题型1.(201625题10分)若抛物线L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P,且抛物线L的顶点Q在直线l上,则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系.此时直线l叫做抛物线L的“带线”,抛物线L叫做直线l的“路线”.(1)若直线y=mx+1与抛物线y=x2-2x+n具有“一带一路”关系,求m,n的值;(2)若某“路线”L的顶点在反比例函数y=的图象上,它的“带线”l的解析式为y=2x-4,求此“路线”L的解析式;(3)当常数k满足≤k≤2时,求抛物线L:y=ax2+(3

2、k2-2k+1)x+k的“带线”l与x轴,y轴所围成的三角形面积的取值围.2.(201525题10分)在直角坐标系中,我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称之为“中国结”.(1)求函数y=x+2的图象上所有“中国结”的坐标;(2)若函数y=(k≠0,k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”,试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标;(3)若二次函数y=(k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k(k为常数)的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”,试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中(含边界),一共包含有多少个“中国结”?

3、3.(201425题10分)在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”.例如点(-1,-1),(0,0),(,),…都是“梦之点”,显然,这样的“梦之点”有无数个.(1)若点P(2,m)是反比例函数y=(n为常数,n≠0)的图象上的“梦之点”,求这个反比例函数的解析式;(2)函数y=3kx+s-1(k,s是常数)的图象上存在“梦之点”吗?若存在,请求出“梦之点”的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若二次函数y=ax2+bx+1(a,b是常数,a>0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1,x1),B(x2,x2

4、),且满足-2

5、x1-x2

6、=2,令t=b2-2b+,试求t的取值围.4.(201325题10分)设a,b是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足:当m≤x≤n时,有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”.(1)反比例函数y=是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗?请判断并说明理由;(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”,求此函数的解析式;(3)若二次函数y=x2-

7、x-是闭区间[a,b]上的“闭函数”,数a,b的值.5.(201725题10分)若三个非零实数x,y,z满足:只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和,则称这三个实数x,y,z构成“和谐三数组”.(1)实数1,2,3可以构成“和谐三数组”吗?请说明理由;(2)若M(t,y1),N(t+1,y2),R(t+3,y3)三点均在函数y=(k为常数,k≠0)的图象上,且这三点的纵坐标y1,y2,y3构成“和谐三数组”,数t的值;(3)若直线y=2bx+2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1,0),与抛物线y=ax2+3bx+3c(a≠0)交于

8、B(x2,y2),C(x3,y3)两点.①求证:A,B,C三点的横坐标x1,x2,x3构成“和谐三数组”;②若a>2b>3c,x2=1,求点P(,)与原点O的距离OP的取值围.6.(201125题10分)使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如,对于函数y=x-1,令y=0,可得x=1,我们就说1是函数y=x-1的零点.已知函数y=x2-2mx-2(m+3)(m为常数).(1)当m=0时,求该函数的零点;(2)证明:无论m取何值,该函数总有两个零点;(3)设函数的两个零点分别为x1和x2,且+=-,此时函数图象与x轴的交点分别为A

9、、B(点A在点B左侧),点M在直线y=x-10上,当MA+MB最小时,求直线AM的函数解析式.7.(201826题10分)我们不妨约定:对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”.(1)①在“平行四边形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“十字形”的有  ;②在凸四边形ABCD中,AB=AD且CB≠CD,则该四边形  “十字形”.(填“是”或“不是”)(2)如图1,A,B,C,D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点,AC与BD交于点E,∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD,当6≤AC2+BD2≤7时,求OE的取值围;(3)如图2,在平

10、面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a>0,c<0)与x轴交于A,C两点(点A在点C的左侧),B是抛物线与y轴的交点,点D的坐标为(0,﹣ac),记“十字形”ABCD的面积为

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