2012届数学北师大版课件：4.1.2定积分（选修2-2）.ppt

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1、一、引进定积分概念的两个例子第六章　定积分及其应用第一节　定积分的概念二、定积分的定义三、定积分的几何意义一、引进定积分概念的两个例子1.曲边梯形的面积曲边梯形：在直角坐标系下，由闭区间[a,b]上的连续曲线y=f(x)≥0，直线x=a，x=b与x轴围成的平面图形AabB.yxOabABx=ax=by=f(x)基于这种想法，可以用一组平行于y轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，只要分割得较细，每个小曲边梯形很窄，则其高f(x)的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底，底上某点函数值为高的矩形，曲线y=f(x)是连续的，所以，当点x

2、在区间[a,b]上某处变化很小时，则相应的高f(x)也就变化不大.显然，分割越细，近似程度就越高，当无限细分时，则所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，进而用所有小矩形面积之和近似代替整个曲边梯形面积.(1)分割在区间[a,b]内任意插入n–1个分点：a=x0

3、···,n).过每一分点作平行于y轴的直线，它们把曲边梯形分成n个小曲边梯形.根据以上分析，可按下面四步计算曲边梯形面积.a=x0x1xi-1xn=bOy=f(x)yBAxxiOyBAx(2)近似代替在每个小区间[xi-1,xi](i=1,2,···,n)上取一点xi(xi-1≤xi≤xi),以f(xi)为高，xi为底作小矩形，用小矩形面积f(xi)xi近似代替相应的小曲边梯形面积Ai，即Aif(xi)xi(i=1,2,···,n).x1x2xixnxOy=f(x)yBAa=x0x1xi-1xn=bxi(4)取极限当分点个数n无限增加，即(

4、3)求和把n个小矩形面积加起来，它就是曲边梯形面积的近似值，即且小区间长度的最大值(即=max{xi})趋近于0时，上述和式的极限就是曲边梯形面积的精确值，2.变速直线运动的路程设一物体作直线运动，已知速度v=v(t)是时间t的连续函数，求在时间间隔[T1,T2]上物体所经过的路程s.(1)分割在时间间隔[T1,T2]内任意插入n-1个分点：T1=t0

5、的长度分别为：ti=ti–ti–1(i=1,2,···,n).相应的路程s被分为n段小路程：si(i=1,2,···,n).(2)近似代替在每个小区间上任意取一点xi(ti-1≤xi≤ti),用xi点的速度v(xi)近似代替物体在小区间上的速度，用乘积v(xi)ti近似代替物体在小区间[ti-1,ti]上所经过的路程si，即siv(xi)ti(i=1,2,···,n).(3)求和(4)取极限二、定积分的定义定义设函数f(x)在区间[a,b]上有定义．任意取分点a=x0

6、a,b]分成n个小区间[xi-1,xi]，称为子区间，其长度记为xixi–xi-1(i=1,2,···,n)在每个子区间[xi-1,xi]上,任取一点xi(xi-1≤xi≤xi)，得相应的函数值f(xi)，作乘积f(xi)xi(i=1,2,···,n)，把所有乘积加起来，得和式当n无限增大，且子区间的最大长度l(即l=max{xi})趋于零时，如果上述和式的极限存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积，并将此极限值称为函数f(x)在[a,b]上的定积分，记作即f(x)：被积函数；x：积分变量；a与b：积分下限与上限.符号读作函数f(x)从a

7、到b的定积分.f(x)dx：被积表达式或称被积分式；其中：[a,b]：积分区间；关于定积分定义的几点说明：(1)所谓和式极限(即函数f(x)可积)，是指无论对区间[a,b]怎样分法，也不论对点xi(i=1,2,···,n)怎样取法，极限都存在且有相同的极限值.(2)可以证明，闭区间上连续函数或只有有(3)因为定积分是和式极限，它是由函数f(x)与区间[a,b]所确定的，因此，它与积分变量的记号无关，即限个第一类间断点的函数是可积的.(4)该定义是在积分下限a小于积分上限b的此时，只要把插入分点的顺序反过来写a=x0>x1>x2>···>xi-1>xi>

8、···>xn-1>xn=b由于xi-1>xi，xi=xi-xi-1<0，于是有特殊地，当a=