有穷无穷递增递减数列知识点+练习题.doc

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1、数列的分类（1）按项数分：可以分为有穷数列和无穷数列，即如果项数是有限的那么就是有穷数列，如果项数是无限的那么就是无穷数列：（2）按增减分：可以分为递增数列和递减数列，即如果数列的项是随着项数的增加而增加的就是递增数列，如果数列的项是随着项数的增加而减小的就是递减数列；（3）按项的特点分：可以分为摇摆数列和常数列，即如果数列的项是在某个或某几个数之间来回摇摆就是摇摆数列，如果数列的每一项都相等而且都是一个常数那么就是常数列。有穷数列的定义：项数有限的数列叫做有穷数列；无穷数列的定义：项数无限的数列叫做无穷数列；递增数列的定义：一般地，一个数列{an

2、}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列。递减数列的定义：如果从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。单调数列：递增数列和递减数列通称为单调数列. 数列的单调性:1.对单调数列的理解:数列是特殊的函数,特殊在于其定义域为正整数集或它的子集.有些数列不存在单调性.有些数列在正整数集上有多个单调情况,有些数列在正整数集上单调性一定;2.单调数列的判定方法:已知数列{an}的通项公式，要讨论这个数列的单调性，即比较an与an+1的大小关系，可以作差比较；也可以作商比较，前提条件是数列各项为正。摆动数列的定义：从第2项起，

3、有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列。巧用(-1)n求摆动数列的通项：在数列中，我们经常会碰到求形如：1，-1,1，-1，…，或-1,1，-1,1，…，等数列的通项，很显然，我们只要利用(-1)n进行符号的调整，就能很快求出数列的通项公式，我们在其它摇摆数列中也可以巧妙地利用(-1)n求出通项公式。例题1.有穷数列1，23，26，29，…，23n+6的项数是（   ）A．3n+7 B．3n+6C．n+3D．n+2答案：C例题2.已知{an}是递增的数列，且对于任意n∈N*，都有an=n2+λn成立，数λ的取值围解：∵{an}

4、是递增的数列，∴an≤an+1对任意的n∈N*恒成立，即n2+λn≤(n+1)2+λ(n+1)，解得λ≥-2n-1，∵-2n-1≤-3， ∴λ≥-3例题3.共有10项的数列{an}的通项an=，则该数列中最大项、最小项的情况是（   ）A.最大项为a1，最小项为a10 B.最大项为a10，最小项为a1 C.最大项为a6，最小项为a5 D.最大项为a4，最小项为a3答案：D例题4*.在单调递增数列{an}中，a1=2，不等式(n+1)an≥na2n对任意n∈N*都成立，（Ⅰ）求a2的取值围；（Ⅱ）判断数列{an}能否为等比数列？说明理由；（Ⅲ）设，求

5、证：对任意的n∈N*，（Ⅰ）解：因为{an}是单调递增数列，所以，令n=1，，所以。（Ⅱ）证明：数列{an}不能为等比数列。用反证法证明：假设数列{an}是公比为q的等比数列，，因为{an}单调递增，所以q＞1，因为n∈N*，(n+1)an≥na2n都成立，所以n∈N*，，① 因为q＞1，所以，使得当时，，因为（n∈N*），所以，当时，，与①矛盾，故假设不成立。（Ⅲ）证明：观察：，，…，猜想：；用数学归纳法证明：（1）当n=1时，成立；（2）假设当n=k时，成立；当n=k+1时，，所以，根据（1）（2）可知，对任意n∈N*，都有，即，由已知得，所以

6、，所以当n≥2时，，因为，所以对任意n∈N*，，对任意n∈N*，存在m∈N*，使得，因为数列{an}单调递增，所以，，因为，所以。例题5.已知下列数列：(1)2000，2004，2008，2012；(2)0，；(3)1，；(4)1，；(5)1，0，-1，…，sin，…；(6)3，3，3，3，3，3其中，有穷数列是（   ），无穷数列是（   ），递增数列是（   ），递减数列是（   ），常数列是（   ），摆动数列是（   ），周期数列是（   ）。（将合理的序号填在横线上）答案：(1)(6)；(2)(3)(4)(5)；(1)(2)；(3)；(6

7、)；(4)(5)；(5)例题6.下列叙述中正确的个数为（ ）①数列{an}，an=2是常数列； ②数列是摆动数列；③数列是递增数列；④若数列{an}是递增数列，则数列{an·an+1}也是递增数列；A．1B．2C．3D．4答案：C例题7.已知Sk表示数列{ak}的前k项和，且Sk+Sk+1=ak+1(k∈N*），那么此数列是（ ）A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列例题8.设Sn为数列{an}的前n项和（n=1，2，3，……）。按如下方式定义数列{an}：a1=m（m∈N*），对任意k∈N*，k＞1，设ak为满足0≤ak≤k-1的整

8、数，且k整除Sk，（Ⅰ）当m=9时，试给出{an}的前6项；（Ⅱ）证明：k∈N*，有；（Ⅲ）证明：对任意的m，数列{an}