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1、：朱海英学号：4班级：师一班专业：数学与应用数学指导教师：王宏仙素数的性质及研究一、素数定义一个整数a≠0，它的所有倍数为：qa，q=O，±1，±2⋯⋯这个集合是完全确定的。零是所有非零整数的倍数。对于一个整数b≠O，显然±1，±b一定是b的约数,它们称为b的显然约数,b的其它约数(如果有的话)称为b的非显然约数。由显然约数的定义引出素数的定义。定义：设整数P≠0，±1，如果它除了显然约数±1，±P外没有其它的约数，那么，P就称为素数，若a≠0，±1，且，不为素数，则a为合数。本文所说的素数均为正数。我们已定义了素数的定义，下面我们来介绍素数的性质。二、素数的性质性质1：若P为素
2、数，∀a∈Z，则pla或(p，a)=1。证：设(p，a)=d，则有dlp，又P为素数．∴d=l或P，即(P，a)=1或Pla。性质2：设p>l，P∈Z，∀a,b∈Z，若plab，则pla或plb⇔p为素数。证：“”，p>1，P∈Z，设P为合数，则p=cd(11，P∈Z，P为素数，设P不整除a，则(P，a)=1,∴∃s,t∈Z，有sp+at=1．∴sbp+abt=b．∴plb。同理可得，pla。性质3：相邻两素数比值的极限为1，即,为第n个素数。由性质3得出推论1。推论1：m为正整数，a为任意正整数
3、，表示不大于的最大的素数，则有.证：由于素数无限，m→∞时，→∞，用表示大于的第一个素数，则有>，则有1≤≤,由性质3可得，，故,命题得证。素数具有上述几个基本性质，下面来探讨素数的其它性质与定理。定理1：大于2(5除外)的素数的4次方个位数字必为1。证：p为素数，且p>2(5除外)，则P的个位数字必为1，3，7或9。nZ+nZ+nZ+nZ+命题得证。性质4：大于2(5除外)的素数的8次方个位数字必为1。证：由定理1可直接证出。由定理1和性质4，猜想得：定理2：大于2不是5的素数的4k(k∈Z+)次方的个位数字必为1。证：用数学归纳法当k=l时，由定理1可直接得出。设当k=m时，
4、结论也成立，即有如下关系式：1(mod10)nZ+,mZ+1(mod10)nZ+,mZ+1(mod10)nZ+,mZ+1(mod10)nZ+,mZ+当k=m+l时，所以，当k=m+l时，上述命题也成立。综上所述，该定理成立。由定理2得到以下推论：推论2：任何两个大于2(5除外)的素数的次方之差必为1O的倍数。证：对大于2的素数，且不为5的素数可由定理2直接得到。推论3：大于2的素数的4k+1次方的个位数字与该素数本身的个位数字相同。证：当p=5时5(mod5),5(mod5)，（kZ+）,当P≠5时，P的个位数字必为1，3，7或9。1(mod10)1(mod10)1(mod10)
5、1(mod10)所以，命题得证。性质5：任何素数的7次方与该素数的3次方的差为1O的倍数。证：设P为素数。当p=2时，=128，=8，命题成立。当p=5时，=78125，=125，命题也成立。当P>5时，P必为奇数，P的个位数字必为1，3，7或9。1(mod10),1(mod10)1(mod10),1(mod10)1(mod10),1(mod10)1(mod10),1(mod10)所以，由以上可得命题成立。由性质5猜想得：定理3：一个素数的方幂是以首项为3，公差为4的等差数列时。则该素数的次方与次方之差是10的倍数，即，其中。证：用数学归纳法证。当n=l时，=7，=3，由性质5可
6、直接证出。设当n=k时，命题也成立，即有关系式：，即，p=2，p=5当P>5时，P的个位数字必为1，3，7或9以上各式均成立。设当n=k+l时，由以上可得，当时，命题也成立。综上所述，命题成立。三、素数的研究1.只存在一组三胞胎素数3/5/7设Pn与Pn+2是一组孪生素数。则Pn-2与Pn+4必为3的倍数。对应所有奇数M，首位为3的倍数的连续4个递增奇数，必然可以表示为：3m、3m+2，3m+4、3m+6。因此，连续3个奇数为素数时，有且仅有m=1时成立，此时3为素数，3、5、7为三胞胎素数。2.只存在一组三胞胎差值为4的素数3/7/11类比推想，把5考虑进来，首位为5的倍数的连
7、续6个递增奇数为。5n-8、5n-6、5n-4、5n-2、5n、5n+2、5n+4、5n+6、5n+8、5n+10.假定5n-6与5n-2为素数，则5n-4
8、3，顺带5n+2
9、3、5n+8
10、3.即假设存在某素数P(>3)，且P+4也为素数，则P+2
11、3，P+8
12、3。即，不存在连续的P(>3)、P+4、P+8都为素数。3.存在无穷多对孪生素证明：Sm=（2m+1）N+2m2-2m+6,对于任意N，存在无穷多组（2m+1）N到Sm之间至少有一对孪生奇数J、J+2，且J与J+2都不能被
