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1、偏微分方程的数值计算主要内容偏微分方程差分方法计算偏微分方程差分格式的稳定性、收敛性几种特殊的非线性问题数值求解2021/8/42课程说明授课形式上课：8次课上机：8次上机时间地点第3-18周周五下午5-6节单周北613双周北一机房2021/8/43偏微分方程的差分解法基本思想：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连续变化区域用有限离散点（网格点）代替；将连续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通过用网格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分方程定解问题化成只含有限个未知数的代数方程组（差分格式）。2021/8/44如果差分格式有解，且当网格无限小时其解收敛于原定解问题的解
2、，则差分格式的解作为原问题的近似解（数值解）。1、选取网格；2、针对定解问题选择差分近似，列出差分格式；3、求解差分格式（Matlab）；4、讨论差分格式解对于方程解的收敛性及误差估计。偏微分方程的差分解法2021/8/45网格剖分用有限差分方法求解偏微分方程问题必须把连续问题进行离散化，为此首先要对求解区域给出网格剖分，由于求解问题各不相同，因此求解区域也不尽相同。2021/8/46双曲型方程和抛物型方程的初值问题，求解区域是2021/8/47双曲型方程和抛物型方程的初边值问题，求解区域是2021/8/48椭圆型方程的边值问题，求解区域是x-y平面的一个有界区域。2021/8/49用T
3、aylor级数展开方法建立差分格式对流方程的初值问题扩散方程的初值问题2021/8/410Taylor级数展开2021/8/411Taylor级数展开2021/8/412差分方程得到对流方程的差分方程：2021/8/413差分格式差分方程和初始条件的离散形式构成差分格式2021/8/414差分格式的截断误差用微分方程的解来替代差分方程中全部近似解，这样得到的方程两边的差就是截断误差。只要把相应的微分方程问题的充分光滑的解代入差分格式，再进行Taylor级数展开就可以求出差分格式的截断误差。2021/8/415当时间步长、空间步长趋于0时，差分格式的截断误差也趋于0，则称差分格式与相应的定
4、解问题是相容的。差分格式的相容性2021/8/416为偏微分方程的解，为相应差分方程的解，当时间步长、空间步长趋于0时，，则称差分格式是收敛的。差分格式的收敛性2021/8/417差分格式的稳定性2021/8/418例子2021/8/419例子clearN=100;dx=0.1;dt=0.1;c=dt/dx;x=linspace(0,3,300)';M=length(x);u(1:M/3,1)=1;u(M/3:M,1)=0;h=plot(x,u(:,1),'linewidth',3);axis([0,3,-0.2,1.5]);set(h,'EraseMode','xor','Marker
5、Size',18)fork=2:Nset(h,'XData',x,'YData',u(:,1));drawnow;u(2:M,2)=u(2:M,1)+c*(u(1:M-1,1)-u(2:M,1));u(2:M,1)=u(2:M,2);pause(0.01)end2021/8/420习题取空间步长h=0.1,取时间步长分别为0.09，0.1，0.11在n=10时的计算结果，（分别采用向前差商和向后差商），画出数值解和精确解的图像。2021/8/421偏微分方程hyperbolic双曲型parabolic抛物型elliptic椭圆型Lax等价定理2021/8/423Fourier变换2021
6、/8/424Fourier方法判断稳定性2021/8/425Fourier方法判断稳定性2021/8/426方程组情形2021/8/427VonNeumann条件2021/8/428
