任意对任意激励的响应傅里叶积分和拉氏变换.ppt

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1、上次内容回顾:系统对任意激励的响应·卷积积分讲述的内容第三章强迫振动3.9系统对任意激励的响应·傅里叶积分3.10用拉普拉斯变换法求系统响应·传递函数 3.11复频率响应与脉响应之间的关系3.9系统对任意激励的响应·傅里叶积分前面应用卷积积分计算任意非周期激励的响应随时间的变化规律,称为时域分析方法。但也可以从另一角度出发,借助傅里叶变换给出频率域响应的表达式,同时给出脉冲响应函数与复频率响应函数的傅里叶变换关系。单自由度线性系统受非周期激励的振动微分方程为令作用在系统上的激励具有如下的形式,即注意到f(t)的量纲与位移的量纲相同。周期激励函数可以利用傅里叶级

2、数来表示,即表达成为无穷个简谐分量的叠加。对于任意非周期激励函数F(t)=kf(t),可视为周期T趋于无穷大的周期函数,也就是说,非周期函数可视为周期为无穷大的周期函数。这样,离散频率愈来愈接近,直到成为连续为止。这时傅里叶级数就成为傅里叶积分。考虑傅里叶级数的复数形式,即系数Cp为式中T=2π/ω为激励函数的周期。傅里叶级数式和上式提供了有关周期函数f(t)的频率组成依据。令pω=ωp,有△ωp=(p+1)ω-ω=ω=2π/T,将傅里叶展开式和上式)中的pω以ωp,T以2π/△ωp代替,写成当T→∞,△ωp→0时,离散频率ωp,就成为连续频率ω,将TCp,记

3、作ω的函数F(ω),称为激励的频谱函数。上面两式转化为傅里叶变换公式积分式称为关于函数f(t)的傅里叶变换,它给出了f(t)的连续频谱函数,称为关于函数f(t)的傅里叶变换,它给出了f(t)的连续频谱函数,积分式称为关于函数F(ω)的傅里叶逆变换,它将非周期函数f(t)表示为频率为ω、幅值为F(ω)dω的简谐分量的无穷叠加。f(t)和F(ω)共称为傅里叶变换对。积分式利用复频率响应函数H(ω),将f(t)以傅里叶变换式代人x(t)=H(ω)f(t),可得系统的稳态响应为在非周期激励作用下,系统的响应又可由傅里叶积分表示为式中因此x(t)与X(ω)组成了傅里叶变

4、换对。比较式得上式为系统响应的频率域表达式,系统在频率域的响应X(ω)等于复频率响应H(ω)与激励的傅里叶变换F(ω)的乘积。例3.9-1试用傅里叶变换法计算单自由度无阻尼系统对图所示的矩形脉冲激励F(t)的响应x(t),并画出频谱图。解:因为f(t)=F(t)/k,函数f(t)可以定义为利用式,可以对f(t)进行傅里叶变换,积分得当ζ=0,复频率响应为得到于是,响应x(t)可以表示成傅里叶逆变换形式,即为了计算此积分,需要作复平面内的围道积分(这已经超出了本书的范围),这里只给出积分的结果,有注意到本例题响应x(t)的结果与例题3.8-4的结果相同。与f(t

5、)有关的频谱由方程给出,因为(eiωT-e-iωT)/i2=sinωT。方程简化为图表示F(ω)对ω的频谱图。此外,与x(t)有关的频谱由方程给出,同理,简化为图表示X(ω)对ω的频谱图。将此例题与例题3.8-4相比较,可以看出,对于求响应x(t)的问题,用卷积积分要比用傅里叶变换法简单,因为卷积积分能够避免本例题中涉及的复平面内围道积分的计算。3.10用拉普拉斯变换法求系统响应·传递函数拉普拉斯(Laplace)变换作为一种工具已经广泛地应用于线性系统的研究中,除了为求解线性微分方程提供有效方法外,还可以用来表示联系激励和响应的简单代数式。拉普拉斯变换既适合

6、于瞬态振动,又适合于强迫振动,这一方法的主要优点在于它可以比较容易地来处理不连续函数,并且可以自动地考虑初始条件。用符号=Lx(t)表示x(t)的拉普拉斯变换,则x(t)的拉普拉斯变换定义为式中s一般为一复量,函数e-st称为变换的核。因为式是一个以t为积分变量的定积分,所以将得出一个以s为变量的函数。为了用拉普拉斯变换法求解系统的响应,需要计算导数量和譬的变换。应用分部积分,可以得出式中x(0)为m的初始位移。同理,二阶导数的拉普拉斯变换可以表示为式中为m的初始速度。激励函数的拉普拉斯变换简单地表示为两边进行变换,整理后得对方程或改写为上式称为微分方程的辅助

7、方程。第一项表示强迫振动响应,第二项表示由初始条件引起的响应。如果不考虑方程的齐次解,即令x(O)=(O)=0,就可以将变换激励和变换响应之比写成如下形式函数(s)称为系统的广义阻抗,包含反映系统特性的所有参数,是以s为变量的复数域的代数表达式。该域表示一复平面,称为拉普拉斯平面。令(s)的倒数以(s)表示,即(s)称为系统的导纳。在研究变换响应与变换激励的关系时,还要建立一个更为普遍的概念,这一概念称为传递函数。对于方程所描述的二阶系统的特殊情形,传递函数具有下面的形式,即式中ζ和ωn分别为相对阻尼系数和无阻尼系统的固有频率。注意到,如果令(s)中的S=iω

8、并乘以k,就可以得到复频率响应函数H(

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