函数的单调性（文）.ppt

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1、函数的单调性设函数f(x)的定义域为I:一、函数的单调性注:函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上可能是减函数.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=

2、f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.二、单调区间1.取值:对任意x1,x2∈M,且x1

3、律如下：函数单调性u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减y=f[g(x)]增减减增四、复合函数的单调性五、函数单调性的判定方法1.定义法:主要适用于抽象函数或已知函数.2.导数法:适用于具体函数.3.图像法:4.复合函数单调性的判定:5.和函数单调性的判定:6.奇偶性:7.反函数:奇函数在对称区间上具有相同的单调性;偶函数在对称区间上具有相反的单调性.互为反函数的两个函数在各自的定义域上具有相同的单调性.六、两类问题的区别1.函数f(x)的单调递增(或递减)区间是D:2.函数f(x)在区间D上单调递增(或递减):不等式

4、f(x)>0(<0)的解集是区间D;不等式f(x)≥0(≤0)对于xD恒成立.若函数f(x)可导,1.试求函数f(x)=ax+(a>0,b>0)的单调区间.xb解:∵函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),典型例题函数f(x)的导函数f(x)=a-=,bx2ax2-bx2∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-)与(,+∞),abab函数f(x)的单调递减区间是(-,0)与(0,).abab令f(x)<0得:x2<-0得:x2>x<-或x>;ababa

5、b②求函数的单调区间是单调性学习中的最基本的问题,但必须注意,如果函数的解析式含有参数,而且参数的取值影响函数的单调区间,这时必须对参数的取值进行分类讨论.注:①这个函数的单调性十分重要,应用非常广泛,它的图象如图所示:oyx2ab-2abbaba-2.试讨论函数y=2log2x-2logx+1的单调性.1212解:令t=logx,则t关于x在(0,+∞)上单调递减.12而y=2t2-2t+1在(-∞,]上单减,在[,+∞)上单增,1212又由t≤得x≥,1222由t≥得0

6、x+1在[,+∞)上单调递增,在(0,]上单调递减.121222223.设函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1.(1)当k为何值时,函数f(x)的单调递减区间是(0,4);(2)当k为何值时,函数f(x)在(0,4)内单调递减.∴不等式f(x)<0的解集为(0,4),∴0与4是方程kx2+2(k-1)x=0的两根,即kx2+2(k-1)x<0的解集为(0,4),故由根与系数的关系可求得k值为.13(2)命题等价于kx2+2(k-1)x<0对x(0,4)恒成立,设g(x)=kx+2(k-1),等价于kx+2

7、(k-1)<0对x(0,4)恒成立,由于g(x)为单调函数,g(0)≤0g(4)≤0k≤.13则(或分离变量k<对x(0,4)恒成立.)x+22解:对f(x)求导得f(x)=3kx2+6(k-1)x,(1)∵函数f(x)的单调递减区间是(0,4),4.已知f(x)=8+2x-x2,若g(x)=f(2-x2),试确定g(x)的单调区间.解:g(x)由f(t)=8+2t-t2及t=2-x2复合而得.∵y=f(t)=8+2t-t2=-(t-1)2+9,∴f(t)的递增区间是(-∞,1],递减区间是[1,+∞).当x

8、(-∞,-1]时,t=2-x2是增函数,这时t(-∞,1],y=f(t)是增函数.故当x(-∞,-1]时,g(x)=f(2-x2)是增函数;当x[-1,0]时,t=2-x2是增函数,这时t[1,2],y=f(t)是减函数.故当x[-1,0]时,g(x)=f(2-x2)是减函数;当x[0,1]时,t=2-x