函数的单调性 .ppt

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1、3.6函数的单调性*(1)增函数和减函数.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.定义:设函数f(x)的定义域为I:如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

2、性,这一区间,叫做y=f(x)的单调区间.(3)导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的方程为也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是函数的单调性:1.问题的引入:我们知道,如果函数f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说f(x)在这一区间具有单调性.那么怎样判断函数的单调性呢?如果用定义判断函数的单调性.在假设x1

3、(x1)与f(x2)的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.下面我们利用导数来判断函数的单调性.新课教学2.利用导数判断函数的单调性:以函数y=f(x)=x2-4x+3为例.因为曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.由函数的图象可以看出,在区间(2,+)内,切线的斜率为正,即f(x)为增函数;在区间(-,2)内,切线的斜率为负,即f(x)为减函数.y=x2-4x+3利用导数判断函数单调性的结论:用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f

4、(x)的导数f′(x).②令f′(x)>0解不等式,得x的范围就是递增区间.③令f′(x)<0解不等式,得x的范围,就是递减区间.例1确定函数f(x)=x2–2x+4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.y=x2–2x+4函数图象如图.解:f′(x)=(x2-2x+4)′=2x-2.令2x-2>0,解得x>1.∴当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.令2x-2<0,解得x<1.∴当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.例题解析例2确定函数f(x)=2x3–6x2+

5、7在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.y=2x3-6x2+7函数图象如图.解:f′(x)=(2x3-6x2+7)′=6x2-12x令6x2-12x>0,解得x>2或x<0∴当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.令6x2-12x<0,解得0<x<2.∴当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.例3、求函数y=x2(1-x)3的单调区间.解:y′=[x2(1-x)3]′=2x(1-x)3+x2·3(1-x)2·(-

6、1)=x(1-x)2[2(1-x)-3x]=x(1-x)2·(2-5x)令x(1-x)2(2-5x)>0,解得0<x<∴y=x2(1-x)3的单调增区间是(0,)令x(1-x)2(2-5x)<0,解得x<0或x>且x≠1.(∵x=1为拐点,)∴y=x2(1-x)3的单调减区间是(-∞,0),(,+∞)注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.1.确定下列函数的单调区间(1)y=x3-9x2+24x(2)y=x-x3练习(1)y=x3-9x2+24x的单调增区间是(4,+∞)和(-∞,2),单调减

7、区间是(2,4)(2)y=x-x3的单调增区间是(-,)单调减区间是(-∞,-)和(,+∞)解:y′=(ax2+bx+c)′=2ax+b,令2ax+b>0,解得x>-∴y=ax2+bx+c(a>0)的单调增区间是(-,+∞)令2ax+b<0,解得x<-2.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的单调区间.∴y=ax2+bx+c(a>0)的单调减区间是(-∞,-)f(x)在某区间内可导,可以根据f′(x)>0或f′(x)<0求函数的单调区间,或判断函数的单调性,或证明不等式.当在某个区间上f′(x)

8、=0,那么f(x)在这个区间上是常数函数小结

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