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1、第一章二、函数的表示三、极坐标一、函数的定义第一节函数的概念四、复合函数与反函数定义域一、函数的定义定义1.设有两个变量非空数集记为函数图形:自变量因变量如果变量x在D内任取一个确定的数值时，变量y按照一定的法则f总有唯一确定的数值和它对应，就称y是x的函数，f(D)称为值域(对应法则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值定义域使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域注：1.函数中表示对应关系的记号也可用其他字母，如“G”“F”等；3.定义域和对应法则是函数的两要素。（判断两个函数是否相同，主要看其定义域和对应法则，与变量的选择无关）
2、；如：2.函数的定义域就是自变量所能取得使算式有意义的一切实数值；例1.已知函数求及解:函数无定义并写出定义域及值域.定义域值域有些函数，对于其定义域内自变量x的不同的值，不能用一个统一的数学表达式表示，而要用两个或两个以上的式子表示，这类函数称为“分段函数”。二、函数的分段表示、隐式表示、参数表示1.函数的分段表示是分段函数，其定义域为D(f)=[-2,-1)(-1,1)(1,2]。yOx11-12-2例2．ïîïíì£<-<-==2111
3、
4、1)(22
5、x
6、xxxxfy。例3．已知函数îíì£<££+=42202)(2xxxxxf，求f(x-1)。1-1xyo
7、1)符号函数称为符号函数,定义域D=(－∞,+∞),值域={1,0,－1}.例4．几个特殊的函数举例12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线[x]表示不超过的最大整数2)取整函数如[-3.4]=-4,[－1]=－1,定义域D=(－∞,+∞),值域=Z.当有理数点无理数点•1xyo3)狄利克雷(Dirichlet)函数有些函数，它的因变量是用自变量的表达式表示出来的，称为显函数。有些函数，它的因变量与自变量的对应规则是用一个方程F(x,y)=0表示的，称为隐函数。如Ax+By+C=0，xy=1，x2+y2=r2等。又如x2+xy+y2=4，ey=
8、xy。天体力学中的开普勒方程：2.函数的隐式表示3.函数的参数表示在表示变量与的函数关系时，我们常常需要引入第三个变量(例如参数)，通过建立与，与之间的函数关系，间接的确定与之间的函数关系，这类函数也称为参变量函数，即这种方法称为函数的参数表示。例如：摆线（又称旋轮线）摆线半径为a的圆周沿直线无滑动地滚动时,其上定点M的轨迹即为摆线.轨迹:极坐标与直角坐标一样，都是为了表示点在空间中的位置而引入的参照系。直角坐标是用该点到各个坐标轴的距离及位置关系确定坐标的，而极坐标是用该点到定点（称作极点）的距离及该点和极点的连线与过极点的射线（称为极轴）所成的角度来确定坐标的。比
9、如，我们常说的某地位于北偏东35度，距本地100米之类的话，这样的描述就体现了极坐标思想：用角度和距离表示点。三、极坐标平面上任一点的极坐标与直角坐标的关系：将极坐标的极点放在直角坐标系的原点，极轴与其直角坐标(x,y)之间有如下关系：.或与x轴正向重合，那么平面上任一点的极坐标(r,)四、复合函数与反函数1、复合函数定义3:设函数的定义域为函数u=g(x)在D上有定义,且则由下式确定的函数称为由函数u=g(x)和函数构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.函数g与函数f构成的复合函数通常记为函数g与函数f构成复合函数的条件是:函数g在D上的值域g(D)必
10、须含在f的定义域内,即例8．设y=f(u)=lnu，u=g(x)=1+sin2x。问y=f[g(x)]是不是复合函数。解：因为u=g(x)的值域为Ｇ=[1,2]，y=f(u)的定义域为Df=(0,+)，且，所以y=f[g(x)]=ln(1+sin2x)是复合函数。注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.如:如:定义4：设函数y=f(x)的定义域为D，值域为Z。如果对于每个yZ，存在唯一xD，使f(x)=y，则x是一个定义在Z上的函数，称为y=f(x)的反函数，记为x=f-1(y)。函数y=f(x)与函数
11、x=f-1(y)是互为反函数。讨论：设y=f(x)的定义域为D，值域为Z。那么x=f-1(y)的定义域和值域是什么？答案：x=f-1(y)的定义域为Z，值域为D。2、反函数习惯上，我们将x=f-1(y)改写为以x为自变量、以y因变量的函数y=f-1(x)。例9．求y=3x-1的反函数。解：由y=f(x)=3x-1可以求出将上式中的x与y互换，就得出y=3x-1的反函数xO1yy=xy=f(x)y=f-1(x)(x,y)(y,x)注1：在同一直角坐标系中，y=f(x)与x=f-1(y)的图形是相同的，而y=f(x)与y=f-1(x)的图形是关于直线y=
