向量组的秩和极大线性无关组.ppt

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时间:2020-06-27

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1、引子:线性相关组中含有线性无关的部分向量组.第二节向量组的极大无关组与秩定义(等价):一、等价向量组性质:自反性对称性传递性1定理:推论1:推论2:2二、向量组的极大线性无关组与向量组的秩定义(极大线性无关组)注1、条件(2)表示2、只有零向量构成的向量组没有极大无关组推论3:设T是由n维向量所组成的向量组,则(1)T的每个极大线性无关组与之等价(2)T的任意两个极大线性无关组所含向量的个数是相同的。3例如:对于向量组T:1=(1,2,-1),2=(2,-3,1),3=(4,1,-1)1,2为T的一个最大无关

2、组;2,3;1,2,3线性相关,因为21+2-3=01,3也是T的最大无关组。极大无关组是唯一吗?4定义(秩)(可以理解为向量组中含有有用信息的个数,)推论4:推论6:推论5:等价的向量组有相同的秩。5定理(不要掌握,但要知道有这么回事):推论7:如果一矩阵列向量组的秩是r,那矩阵的秩为r.推论8:Problem:如何求向量组的秩和极大线形无关组?见P94页6定理(掌握(1))(1)若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B,则A,B的行向量组等价;而A的任意k个列向量与B中对应的k个列向量有相同的线性相

3、关性。(2)若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B,则A,B的列向量组等价;而A的任意k个行向量与B中的对应的k个行向量有相同的线性相关性。789事实上1011例(掌握)求向量组的极大无关组,并用极大无关组表示该向量组的其他向量。做矩阵然后对A进行初等行变换,化成行阶梯形(或行最简形)矩阵,~=B可以发现,是矩阵B的列向量组解:极大线形无关组12又∵即:从而~=B13推论9(结论要记住)14三、思考题1、求下列向量组的秩,并求其最大线性无关组:2、一个向量组的秩是否确定?其极大无关组是否唯一?15求法1、2、对A进行初等

4、行变换,直至阶梯形矩阵A'3、A的秩r即为所求,再找一个r阶非零子式(取拐角1所在的列),对应的向量构成一个极大线性无关组。16

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