向量组的秩与最大无关组合.ppt

《向量组的秩与最大无关组合.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.3向量组的秩与最大无关组一、向量组的秩与最大无关组的概念二、Rn的基、维数与坐标一、向量组的秩与最大无关组的概念例11=(1,0,1),2=(1,-1,1),3=(2,0,2)。1,2,3线性相关.1,2线性无关；2，3线性无关，最大无关组定义设向量组T满足1o在T中有r个向量1,2,…,r线性无关；2oT中任意r+1个向量都线性相关；则称1,2,…,r是向量组T的一个最大无关组，数r为向量组T的秩.最大无关组一般不唯一，秩是唯一的.若向量组线性无关，则其最大无关组就是它本身，秩=向量个数.向量组线性无关(相关)向量组的秩=(<)向量组所

2、含向量个数.例2Rn的秩为n,且任意n个线性无关的n维向量均为Rn的一个最大无关组.矩阵A的列秩：A的列向量组的秩；矩阵A的行秩：A的行向量组的秩.定理1若则A的任意k个(1≤k≤n)个列向量与B的对应k个列向量有相同的线性相关性.任取A的k个列向量所得AkX=0与BkX=0同时有非零解或只有零解.Ak的列向量与Bk的列向量有相同的线性相关性.证定理2矩阵的行秩=列秩=矩阵的秩.证设R(A)=r,B有r个非零行，B的r个非零行的非零首元素所在的r个列向量线性无关，为B的列向量组的最大无关组.A中与B的这r个列向量相对应的r个列向量也是A的列向量组的最大无关组.故A的列秩等于r

3、.定理2的证明—求向量组的秩和最大无关组的方法.同理，由R(A)=R(AT),及A的行向量即AT的列向量，可得A的行秩等于r.解A=(1T,2T,3T)所以,秩(1,2,3)=21,2,3线性相关.<3,1,2为一个最大无关组.例3求向量组1=(1,2,0,3),2=(2,-1,3,1),3=(4,-7,9,-3)的秩和一个最大无关组，并判断线性相关性.例4求向量组1=(1,2,0,3),2=(2,-1,3,0),3=(4,-7,9,-3)的一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表出.解A=(1T,2T,3T)例5求向量组1=(

4、2,4,2),2=(1,1,0),3=(2,3,1),4=(3,5,2)的秩和一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表出.解A=(1T,2T,3T,4T)所以,秩(1,2,3,4)=2向量组与其任一最大无关组等价；一向量组的任两个最大无关组等价；一向量组的任两个最大无关组所含向量个数相等，其个数都等于向量组的秩.定理3若向量组1,2,…,r可由1,2,…,s线性表出，且1,2,…,r线性无关，则r≤s.证为便于书写，不妨设向量均为列向量，设A=(1,2,…,r),B=(1,2,…,s),因1,2,…,r可由1,

5、2,…,s线性表出,所以存在K=(kij)s×r=(1,2,…,r),使得A=BK.则有不全为零的数x1,x2,…,xr使若r>s,则1,2,…,r线性相关,x11+x22+…+xrr=0所以AX=BKX=B0=0.AX=0有非零解，则1,2,…,r线性相关，矛盾！两向量组秩的关系：若向量组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出，则组(Ⅰ)的秩r1≤组(Ⅱ)的秩r2.证设为(Ⅰ)的最大无关组，为(Ⅱ)的最大无关组.组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出,所以可由线性表出,又线性无关，故r1≤r2.若组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价，则组(Ⅰ)的秩r1=组(Ⅱ)的秩r2.例6设

6、A,B分别为m×r,r×n矩阵，证明R(AB)≤min{R(A),R(B)}.证设Cm×n=AB，(AB)的列向量组可由A的列向量组线性表出，故R(AB)≤R(A).又，R(C)=R(CT)=R(BTAT)≤R(BT)=R(B).所以R(AB)≤min{R(A),R(B)}.二、Rn的基、维数Rn：n维向量空间Rn的一组基：Rn的一个最大无关组Rn的维数(dimRn)：Rn的秩,dimRn=n.设1,2,…,n为Rn的一组基，则Rn=L(1,2,…,n)又，Rn=L(ε1,ε2,…,εn)Rn的标准基Rn,1,2,…,n为一组基，=x11+x22

7、+…+xnn在基1,2,…,n下的坐标一个向量在确定基下的坐标是惟一的(坐标的惟一性).例7(1)设=(x1,x2,x3)≠0，L():R3的一维子空间;(2)设=(x1,x2,x3),=(y1,y2,y3)线性无关，L(,):R3的二维子空间.