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1、八年级数学·下新课标[北师]第一章三角形的证明1等腰三角形（第1课时）学习新知问题思考我们已经证明了有关平行线的一些结论,运用下面的公理和已经证明的定理,我们还可以证明有关三角形的一些结论.我们已学过的部分基本事实:1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等；3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)；5.三边对应相等的两个三角形全等(SSS).通过上面的这些结论,我们能否证明等腰三角形的底角相等呢?等腰三角
2、形的两底角相等按图示的方法先独自折纸观察,再探索并写出等腰三角形的性质.定理:等腰三角形的两底角相等.这一定理可以简述为:等边对等角.已知:如图所示，在△ABC中，AB=AC.求证∠B=∠C.〔解析〕我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上,折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们,可以作一条辅助线把原三角形分成两个全等的三角形,从而证明这两个底角相等.证明:取BC的中点D，连接AD.(如图所示)∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ABD△≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).三线合一推
3、论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.证明:过顶点A作∠BAC的平分线AD,交BC于点D,∵AD是△ABC中的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(SAS),∴BD=CD(全等三角形的对应边相等),∠ADB=∠ADC(全等三角形的对应角相等).∴AD是BC边上的中线,∠BDA=90°,∴AD是BC边上的高,∴等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.[知识拓展]“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”的定理是将“等腰三角形”作为一
4、个前提条件得到的三个真命题,在学习等腰三角形的性质定理后,可将该定理作如下的延伸.如图所示，已知△ABC，①AB=AC，②∠1=∠2，③AD⊥BC，④BD=DC中，若其中任意两组成立,可推出其余两组成立.检测反馈解析:等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的平分线是一条.故选B.1.一个等腰非等边三角形中,它的角平分线、中线及高线的条数共为(重合的算一条)()A.9B.7C.6D.5B2.在△ABC中,如果AB=AC,那么在这个三角形中,重合的线段是()A.∠A的平分线，AB边上的中线，AB边上的高线B.∠A的平分线，BC边上的中
5、线，BC边上的高线C.∠B的平分线，AC边上的中线，AC边上的高线D.∠C的平分线，AB边上的中线，AB边上的高线解析:本题主要考查等腰三角形三线合一的性质.故选B.B解析:因为110°的角只能是顶角,所以其余两角均为35°.故填35°,35°.3.若等腰三角形中有一个角为110°,则其余两角分别为.解析:边长为6cm的边有可能是腰也有可能是底.4.如果等腰三角形的一边长为6cm,周长为14cm,那么另外两边的长分别为.35°,35°6cm，2cm或4cm，4cm5.如图所示,在△ABC中，AB=AC，D是AC上一点，且AD=BD=B
6、C.求∠A的度数.解:设∠A=x°,∵AD=BD,∴∠1=∠A.∴∠2=∠1+∠A=2x°.∵BD=BC,∴∠C=∠2=2x°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=2x°.由三角形内角和定理可知∠A+∠ABC+∠C=180°,即5x=180,解得x=36.∴∠A的度数为36°.6.(2015·佛山中考)如图所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC.请你用尺规作图将△ABC分成两个全等三角形，并说明这两个三角形全等的理由.(保留作图痕迹,不写作法).解:由作图可知∠BAD=∠CAD，又AB=AC，AD=AD，则△ABD≌△ACD(SAS).
