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1、本章习题3－5（5）3－8（4）3－11（6）3－15（b）3－193－233－31（1）3－39（2）（4）（6）3－423－43线性时不变系统的描述及特点连续时间系统用N阶常系数微分方程描述ai、bj为常数。离散时间系统用N阶常系数差分方程描述ai、bj为常数。线性时不变系统的描述线性时不变系统的描述及特点线性时不变系统的特点LTI系统除具有线性特性和时不变特性外，还具有:1）微分特性与差分特性：若T{f(t)}=y(t)则若T{f[k]}=y[k]则T{f[k]-f[k-1]}=y[k]-y[k
2、-1]2）积分特性与求和特性：若T{f(t)}=y(t)则若T{f[k]}=y[k]则[例]已知某线性时不变系统在f1(t)激励下产生的响应为y1(t)，试求系统在f2(t)激励下产生的响应y2(t)。解：从f1(t)和f2(t)图形可以看得出，f2(t)与f1(t)存在以下关系根据线性时不变性质，y2(t)与y1(t)之间也存在同样的关系连续时间LTI系统的响应经典时域分析方法卷积法零输入响应求解零状态响应求解连续时间LTI系统的响应1.经典时域分析方法:求解微分方程2.卷积法:系统完全响应=零输入
3、响应+零状态响应求解齐次微分方程得到零输入响应利用卷积积分可求出零状态响应一、经典时域分析方法微分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定一、经典时域分析方法齐次解yh(t)的形式(1)特征根是不等实根s1,s2,,sn(2)特征根是等实根s1=s2==sn=s(3)特征根是成对共轭复根一、经典时域分析方法常用激励信号对应的特解形式[例]已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
4、 初始条件y(0)=1,y'(0)=2,输入信号f(t)=e-tu(t)，求系统的完全响应y(t)。特征根为齐次解yh(t)解:(1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)特征方程为[例]已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 初始条件y(0)=1,y'(0)=2,输入信号f(t)=e-tu(t)，求系统的完全响应y(t)。解:(2)求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=f(t)的特解yp(t)由输入f(t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Ce-t
5、将特解代入原微分方程即可求得常数C=1/3。[例]已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 初始条件y(0)=1,y'(0)=2,输入信号f(t)=e-tu(t)，求系统的完全响应y(t)。解:(3)求方程的全解解得k1=5/2，k2=-11/6经典法不足之处若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。1)若初始条件不变，输入信号f(t)=sintu(t)，则系统的完全响应
6、y(t)=？2)若输入信号不变，初始条件y(0)=0,y'(0)=1,则系统的完全响应y(t)=？讨论二、卷积法系统完全响应=零输入响应+零状态响应1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。数学模型:求解方法：根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式再由初始状态确定待定系数。解:系统的特征方程为[例]已知某线性时不变系统的动态方程式为:y"(t)+5y'(t)+6y(t)=4f(t),t>0系统的初始状态为y(0-)=1，y'(0-)=3，求系统的零输入响应yx(
7、t)。系统的特征根为y(0-)=yx(0-)=K1+K2=1y'(0-)=y'x(0-)=-2K1-3K2=3解得K1=6，K2=-5[例]已知某线性时不变系统的动态方程式为:y"(t)+4y'(t)+4y(t)=2f'(t)+3f(t),t>0系统的初始状态为y(0-)=2，y'(0-)=-1，求系统的零输入响应yx(t)。解:系统的特征方程为系统的特征根为（两相等实根）y(0-)=yx(0-)=K1=2;y'(0-)=y'x(0-)=-2K1+K2=-1解得K1=2,K2=3[例]已知某线性时不变
8、系统的动态方程式为：y"(t)+2y'(t)+5y(t)=4f'(t)+3f(t),t>0系统的初始状态为y(0-)=1，y'(0-)=3，求系统的零输入响应yx(t)。解:系统的特征方程为系统的特征根为y(0-)=yx(0-)=K1=1y'(0-)=y'x(0-)=-K1+2K2=3解得K1=1，K2=2二、卷积法系统完全响应=零输入响应+零状态响应求解系统的零状态响应yf(t)方法：1)直接求解初始状态为零的微分方程。2)卷积法：利用信号分解和线性时
