综合法与分析法课件.ppt

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1、2.2.1综合法与分析法例1．求证：证明：因为所以左式=log195+2log193+3log192=log19(5×32×23)=log19360.因为log19360

2、D是Rt△ABC斜边上的中线，所以DA=DB=DC，又因为PA=PB=PC，而PD是△PDA、△PBD、△PCD的公共边,所以△PDA≌△PBD≌△PCD，于是∠PDA=∠PDB=∠PDC，而∠PDA=∠PDC=90°，可见PD⊥AC，PD⊥BD，由此可知，PD垂直于△ABC所在的平面.这个证明的步骤是：（1）由已知BD是Rt△ABC斜边上的中线,推出DA=DB=DC，记为P0(已知)P1;（2）由DA=DB=DC，和已知条件，推出三个三角形全等，记为P1P2；（3）由三个三角形全等，推出∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°,记为P2P3;（4）由∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°,

3、推出PD垂直于△ABC所在的平面，记为P3P4(结论)；这个证明步骤用符号表示就是P0(已知)P1P2P3P4(结论).例3．求证：证明：因为都是正数，所以为了证明只需证明展开得即只需证明21<25，因为21<25成立，所以不等式成立。从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做分析法．特点：这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等执果索因即：要证结果Q，只需证条件P2．分析法分析法证明的逻辑关系是：B(结论)B1B2…BnA(已知).在分析法证明中，从结论出发的每一个

4、步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明的事实。因此从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略。例4.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证AF⊥SCFESCBA证明:要证AF⊥SC只需证:SC⊥平面AEF只需证:AE⊥SC只需证:AE⊥平面SBC只需证:AE⊥BC只需证:BC⊥平面SAB只需证:BC⊥SA只需证:SA⊥平面ABC因为:SA⊥平面ABC成立所以.AF⊥SC成立已知条件定义公理定理推理论证结论出发充分条件定理定义公理所要证明的结论已知条件定义公理定理3．小结：分析法和综合法是思维方向相

5、反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由因导果，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。例5．求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大证明：设圆和正方形的周长为L，依题意，圆的面积为正方形的面积为因此本题只需证明为了证明上式成立，只需证明两边同乘以正数得因为上式是成立的，所以这就证明了如果一个圆与一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积比这个正

6、方形的面积大。练习A1．已知n是大于1的自然数，求证：证明：因为所以要证原式成立，只需证明而所以原不等式成立。2．已知a，b，c表示△ABC的边长，m>0，求证：证明：因为所以所以原不等式得证。B组1．求证：证明：欲证需证两边平方得即需证即由于该式成立，所以原不等式成立。2．如果3sinβ=sin(2α+β)，求证：tan(α+β)=2tanα.证明：∵3sinβ=sin(2α+β)，∴3sin[(α+β)－α]=sin[(α+β)+α]，∴3sin(α+β)cosα－3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα，即2sin(α+β)cosα=4cos(α+

7、β)sinα，所以tan(α+β)=2tanα