鍚戦噺鏁颁箻.ppt

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1、向量的数乘运算扬中市第二高级中学第一中学张克兰实际背景探索1:aCaABaO-aQ-aMN-aP已知非零向量a（如图）a试作出：a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)根据向量加法的法则可得思考:相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？OABC由图可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我们把a+a+a记作3a，即OC=3a.显然，3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即

2、3a

3、=3

4、a

5、.PQMN由图可知，PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)，把(-a)+(-a)+(-a)记作-3a，即PN=-3a显然，-3a的方向与a

6、的方向相反，-3a的长度是a的长度的3倍，即

7、-3a

8、=3

9、a

10、。（1）一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度和方向规定如下：（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。特别的，当时，思考:向量数乘和实数乘法有那些相同点?那些不同点?①a是一个向量；②a的长度等于的绝对值与向量a的长度的乘积。=探索2:(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a为非零向量)，并进行比较。(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。设为实数，那么特别的，我们有向量的加、减、数乘运算统称为向量

11、的线形运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有第一分配律第二分配律例1.计算：练习：已知非零向量，求向量的模结论：①是单位向量③与反向的单位向量是②与同向的单位向量是④与平行的单位向量是探索.如图：已知，，试判断与是否共线．ABDEC∴与共线．解：思考:问题2：如果向量a与b共线那么，b=λa？问题1：如果b=λa,那么，向量a与b是否共线？对于向量a(a≠0),b，以及实数λ,向量共线定理对于两个向量如果有一个实数λ，使得那么与是共线向量；反之，如果是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得①要证向量共线，只须证明存在实数λ，使得即可。说明：②推广：利用向量共线定理

12、可以解决点共线或线共点的问题。例2:如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N是BD上的一点，，求证M、N、C三点共线.AMBCDN提示：设AB=aBC=b则MN=…=a+bMC=…=a+b所以M.N.C三点共线问题1：思考1：00练习例2ABCO变1：若点C为AB边上靠近B点的三等分点呢？变2：若点C为AB边上靠近B点的四等分点呢？OABCOABC变3：OABC书P65例4思考2：如果λ>0，点C在什么位置？λ<0呢？λ=0呢？λ>0时，点C在AB之间λ<0时，点C在AB或BA的延长线上λ=0时，C点与A点重合例3设O、A、B、C为平面上任意四点，且存在

13、实数s，t，使思考：若A、B、C三点共线，则；反之，若s+t=1，则。结论：练习：一、①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线二、定理的应用：1.证明向量共线2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线3.证明两直线平行:AB=λCDAB∥CDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CD