(补充课)二次函数性质及根的分布.ppt

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1、二次函数的性质及根的分布判别式△=b2-4ac△>0△=0△<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像一元二次不等式的解集ax2+bx+c=0(a≠0)的根ax2+bx+c>0(a>0)ax2+bx+c<0(a>0)有两相等实根x1=x2=-有两相异实根:x1,2=x<x1或x>x2x1<x<x2空集空集全体实数没有实根所有不等于-的实数1.y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图像只能是()               A   BC     D课前练习C2.已知二次函数y=ax

2、2+bx+c的系数满足abc<0,则它的图像可能是()ABCDB3.若函数f(x)=x2+3x+p的最小值为-1,则p的值是() A.1   B.C.D.4.若二次函数f(x)=-2x2+4x+t的图像顶点的纵坐标等于1,则t的值是()A.1  B.-1  C.2   D.-25.已知函数f(x)=mx2+2mx-3m+6的图像如图所示,则实数m的取值范围是()A.m>2B.m>3C.m>1D.m>0CBA6.设二次函数f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)的值为()A.

3、正数B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能A在已知某些条件求二次函数式的解析式时,常用待定系数法.常见的二次函数的表示形式有(a≠0):①标准式:y=ax2+bx+c;②顶点式:y=a(x-k)2+m;③零点式:y=a(x―x1)(x―x2).(式中x1、x2为方程ax2+bx+c=0的二根).例1已知二次函数y=f(x)有最小值-3,且当x=-3和x=2时f(x)的值都是,求f(x).设f(x)=ax2+bx+c,由题设得解:a(-3)2+b(-3)+c=a(2)2+b×2+c==-3(a

4、>0).9a-3b+c=4a+2b+c=b2-4ac-12a=0解法一:∴f(x)=2x2+2x-.a=2解之得b=2,c=-解二∵f(-3)=f(2)=,∴抛物线y=f(x)的对称轴为x=,即x=-,故其顶点坐标为(-,-3).设f(x)=a(x+)2-3.∵f(2)=a(2+)2-3=∴a==2..∴f(x)=2x2+2x-.解三由已知,x=-3和x=2是一元二次方程f(x)-=0的两个实数根.设f(x)-=a(x+3)(x-2),则f(x)=a(x+3)(x-2)+.又当x==-时,f(-)

5、=-3.∴a(-+3)(--2)+=-3,-a=-,a=2.∴f(x)=2(x+3)(x-2)+=2x2+2x-.-1例2已知函数f(x)=x2-bx+c,且f(0)=3,f(1+x)=f(1-x)试比较f(2x)与f(3x)的大小。yxOabf(x)为二次函数,f(a)=f(b)f(x)的对称轴为f(x)为二次函数,f(c+x)=f(c-x)f(x)的对称轴为x=cyxO231若x<0,若x=0,则1>2x>3x∴f(2x)

6、,若x>0,综上所得,f(2x)≤f(3x)。例3已知二次函数f(x)=x2+bx+c,当x∈[-1,1]时,试证:(1)当b<-2时,f(x)是递减函数;(2)当b<-2时,f(x)在定义域内至少存在一个x,使

7、f(x)

8、≥1/2成立。证明:(1)f(x)=x2+bx+c=(x+)2+c-,抛物线的对称轴x=-,当b<-2时,->1(如图) ∴当b<-2时,f(x),x∈[-1,1]是递减函数。(2)假设在x∈[-1,1]内不存在

9、f(x)

10、≥,则有-<f(x)< ∴f(-1)=1-b+c<,f

11、(1)=1+b+c>-联立解得b>-与已知b<-2相矛盾,假设不成立,原命题成立。设f(x)=ax2+bx+c(a>0),则一元二次方程f(x)=0实根的分布情况可以由y=f(x)的图象或由韦达定理来确定. 如果f(m)f(n)<0(m<n),由二次函数y=f(x)的图像知,一元二次方程f(x)=0在区间(m,n)内必有一个实数根.例:已知方程x2-2(m+2)x+m2-1=0有两个不相等的正根,求实数m的取值范围。变1:已知方程x2-2(m+2)x+m2-1=0有两个实根都大于2,求实数m的取值

12、范围。变2:已知方程x2-2(m+2)x+m2-1=0有两个实根都小于2,求实数m的取值范围。变3:已知方程x2-2(m+2)x+m2-1=0有两个实根,一个小于2,另一个大于2,求实数m的取值范围。变4:已知方程x2-2(m+2)x+m2-1=0有两个实根,且x1、x2∈(-1,3),求实数m的取值范围。变5:已知方程x2-2(m+2)x+m2-1=0有两个实根,求x12+x22的取值范围。二次方程f(x)=0的两实根x1、x2的分布情况,可有如下几种(m、n为常数):(1)若x

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