《 圆与四边形》课件 .ppt

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1、《1.3圆与四边形》课件基础梳理1．圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的对角．推论：圆内接四边形的外角等于它的内角的．2．圆内接四边形的判定定理(1)定理：如果一个四边形的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．互补对角互补(2)符号语言表述：在四边形ABCD中，如果∠B＋∠D＝或∠A＋∠C＝180°，那么四边形ABCD内接于圆．3．判定定理的推论如果四边形的一个外角等于它的内角的，那么这个四边形的四个顶点共圆．180°对角预习测评1．如图，O为圆心，PAB是一条直线，x＋y＝()A．2zB．90°＋zC．180°－zD．180°－2z答案：C要点

2、阐释1．判定四点共圆的方法(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆．(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆．(因为四个顶点与斜边中点距离相等)2．圆内接四边形判定定理的推论的证明已知：如图，四边形ABCD，延长AB到E，∠EBC＝∠CDA.求证：A、B、C、D四点共圆．证明：因为∠EBC＝∠CDA，且∠EBC＋∠ABC＝180°，所以∠CDA＋∠ABC＝180°.由

3、圆内接四边形的判定定理知A、B、C、D四点共圆．3．圆内接四边形判定定理的证明，推导出与圆内接四边形性质定理相矛盾的结果，体现了反证法证明几何命题的基本思路．反证法是证明问题的有效方法，那么与正面证明相比较，反证法有什么特点？它证明问题的步骤是怎样的？它有什么优点？反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，导出矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法．反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表达形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行

4、于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n－1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木，推理必须严谨，导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾，与已知的公理、定义、定理、公式矛盾，与反设矛盾，自相矛盾．反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不止一种)．用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设，(2)归谬，(3)结论．对

5、于一些从正面难以说明的问题，反证法往往有着出奇制胜的作用．典例剖析类型一　证明四点共圆【例1】如果四边形一边上的两个顶点的视角相等，那么四边形的四个顶点共圆．已知：如图，四边形ABCD中，∠1＝∠2.求证：A、B、C、D四点共圆．证明：由A、B、C、D三点可以确定一个圆，设该圆为⊙O.(1)如果点C在⊙O的外部(如下图)．连接BC，与圆相交于点E.∵∠1＝∠AEB，∠1＝∠2，∴∠2＝∠AEB.而∠AEB>∠2，矛盾．故点C不可能在圆外．(2)如果点C在⊙O的内部(如图)．延长BC与圆相交于点E，连接AE.则∠1＝∠AEB，而∠1＝∠2，∴∠2

6、＝∠AEB，与∠2>∠AEB矛盾．∴点C不可能在圆内．∴点C只能在圆上．点评：反证法就是假设结论不成立，然后经过推理论证找出矛盾的一种过程，本题同时又体现了分类讨论的数学思想．1．在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F是垂足．求证：E、B、C、F四点共圆．证明：如图，连接EF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴A，E，D，F四点共圆．∴∠1＝∠2.∴∠1＋∠C＝∠2＋∠C＝90°.∴∠BEF＋∠C＝180°.∴B、E、F、C四点共圆．类型二　利用圆内接四边形和相似三角形证明线段相等或角相等【例2】如图，两圆⊙O1，⊙

7、O2相交于A，B.⊙O1的弦BC交⊙O2于E点，⊙O2的弦BD交⊙O1于F点．证明：(1)若∠DBA＝∠CBA，则DF＝CE.(2)若DF＝CE，则∠DBA＝∠CBA.证明：(1)连接AE、AF、AC、AD，则∠3＝∠4，∠5＝∠6.又∵∠1＝∠2，∴.∴AD＝AE，∴△ACE≌△AFD.故CE＝DF.(2)由(1)知∠3＝∠4，∠5＝∠6，又∵DF＝CE，∴△ACE≌△AFD，∴AD＝AE，∴∠1＝∠2.点评：构造全等或相似三角形，以达到证明线段相等．角相等或线段成比例等目的．2．如图，两圆相交于A、B，过A作两直线分别交两圆于C、D和E、F

8、.若∠EAB＝∠DAB，求证：CD＝EF.证明：如图，连接EC、BE、BD、BC、BF.因为四边形ABEC为圆内接四边形，所以∠2＝∠CEB.又因为∠