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1、2.6不定方程与同余人教B版数学选修4-6《初等数论初步》同余式和不定方程是数论中古老而富有魅力的内容.考虑数学竞赛的需要,下面介绍有关的基本内容.定义:设a、b、m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为或一切整数n可以按照某个自然数m作为除数的余数进行分类，即n=pm+r（r=0，1，…，m-1），恰好m个数类.于是同余的概念可理解为,若对n1、n2，有n1=q1m+r，n2=q2m+r，那么n1、n2对模m的同余，即它们用m除所得的余数相等.1.同余式及其应用(1)若,则m
2、(b-a).反过来,若m
3、(b-a),则;(2)
4、如果a=km+b(k为整数),则;(3)每个整数恰与0,1,…，m-1，这m个整数中的某一个对模m同余；(4)同余关系是一种等价关系：①反身性；②对称性，则，反之亦然.③传递性，则；（5）如果，，则①；②特别地利用整数的剩余类表示,可以证明同余式的下述简单性质:例1（1898年匈牙利奥林匹克竞赛题）求使2n+1能被3整除的一切自然数n.解∵∴则2n+1∴当n为奇数时，2n+1能被3整除；当n为偶数时，2n+1不能被3整除.应用同余式的上述性质，可以解决许多有关整数的问题.例2求2999最后两位数码.解考虑用100除2999所得的余数.∵∴又∴∴∴2999的最后
5、两位数字为88.例3求证31980+41981能被5整除.证明∵∴∴∴不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.(1)不定方程解的判定如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.2．不定方程例4证明方程2x2-5y2=7无整数解.证明∵2x2=5y2+7，显然y为奇数.①若x为偶数，则∴∵方程两边对同一整数8的余数不等，∴x不能为偶数.②若x为奇数，则但5y2+7∴x不
6、能为奇数.因则原方程无整数解.用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法.说明:设2x+3y=17n+a，其中a是0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8中的某个数，但是这时（2x+3y）2+5=（17n）2+34na+（a2+5）=a2+5（mod17），而a2+5被17整除得的余数分别是5，6，9，14，4，13，7，3，1，即在任何情况下（2x+3y）2+5都不能被17整除，这与它能被17整除矛盾.故不存在整数x，y使①成立.例7满足方程x2+y2=x3的正整数对（x，y）的个数是（）.（A）0（B）1（C）2（D）无限个
7、（E）上述结论都不对解由x2+y2=x3得y2=x2（x-1），所以只要x-1为自然数的平方，则方程必有正整数解.令x-1=k2(k为自然数),则为方程的一组通解.由于自然数有无限多个,故满足方程的正整数对(x,y)有无限多个,应选(D).说明:可用写出方程的一组通解的方法,判定方程有无数个解.(2)不定方程的解法不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.例6求方程的整数解.解(配方法)原方程配方得(x-2y)2+y2=132.在勾
8、股数中,最大的一个为13的只有一组即5,12,13,因此有8对整数的平方和等于132即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解解得回忆一下我们本节学了什么？TheEnd
