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1、第6课时全称命题、特称命题与逻辑联结词的综合应用1.进一步熟悉含量词的命题的否定形式并判断真假.2.会将全称命题与特称命题与充要条件结合,进行综合应用.3.会将全称命题与特称命题与逻辑联结词结合,进行综合应用.前面我们讲过一个故事,一位文艺批评家在路上遇到歌德走来,不仅没有相让,反而卖弄聪明,一边高傲地往前走,一边大声说道:“我从来不给傻子让路!”面对如此尴尬局面,只见歌德笑容可掬,谦恭地闪在一旁,一边有礼貌地回答道:“呵呵,我可恰恰相反.”“我从来不给傻子让路”的等价命题是“只要是傻子,我都不会给他让路”,歌德表达的意思正是对命题“只要是傻子,我都不会
2、给他让路”的否定,那么这个命题的否定是.“且”“或”“非”命题的真假性判断原则:(1)“且”命题“一假则假、皆真则真”;(2)“或”命题“”;(3)“非”命题与原命题的真假.问题1只要是傻子,我有时会给他让路相反一真则真、皆假则假问题2全称命题和特称命题的定义及其表示含有全称量词“所有的”“任意一个”的命题,叫作全称命题,记为.含有存在量词“存在一个”“至少一个”的命题,叫作特称命题,记为.几种命题的否定(1)任意x∈M,p(x)成立的否定是.(2)存在x∈M,p(x)成立的否定是.(3)“p或q”的否定是.(4)“p且q”的否定是.存在x∈M,p(x)
3、不成立任意x∈M,p(x)成立任意x∈M,p(x)不成立存在x∈M,p(x)成立问题3问题4(?p)且(?q)(p)或(q)下列命题为真命题的是().A.所有的自然数都是正整数B.有些三角形不是锐角三角形C.实数的平方都是正数D.每个矩形都是正方形【解析】选项A,0是自然数但不是正整数,命题为假.选项B,例如直角三角形或钝角三角形不是锐角三角形,命题为真.选项C,0的平方是0,不是正数,命题为假.选项D,邻边不相等的矩形不是正方形,命题为假.1B下列特称命题中真命题的个数是().①存在x∈N+,x≤0;②至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数;③存在x
4、∈{x
5、x是整数},x2是整数.A.0B.1C.2D.3【解析】①为假命题,②③为真命题.2C已知命题r(x):sinx+cosx>m,s(x):x2+mx+1>0,如果任意x∈R,r(x)为假命题且s(x)为真命题,则实数m的取值范围是.347全(特)称命题的充分必要性已知p:任意x∈[-1,2],使4x-2x+1+2-a<0恒成立,q:函数y=(a-2)x是增函数,则p是q的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件AA复合命题的真假性判断已知命题p:任意x∈R,sin(π-x)=sinx;命题q:α,β均是第一象
6、限角,且α>β,则sinα>sinβ.下列命题是真命题的是().A.p且(q)B.(p)且(q)C.(p)且qD.p且q[问题]上述解法中逻辑词的否定词用得正确吗?[结论]不正确.上面错解的主要原因是不能正确理解“p”的含义,错用逻辑词的否定词.一般地,写出否定,往往需要对正面叙述的词语进行否定.一个命题的否定不仅要否定结论,还要否定逻辑联结词.于是,正确解答如下:(1)正方形的四条边不都相等;(2)已知a,b∈N,若ab能被5整除,则a,b都能被5整除;(3)若x2-x-2≠0,则x≠-1或x≠2.已知p:任意x∈R,有ln(x2+ax+2)≥0.(1
7、)当a=-2时,判断p的真假性;(2)若p是真命题,求a的取值范围.【解析】(1)当a=-2时,因为x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,所以命题p:任意x∈R,有ln(x2+ax+2)≥0是真命题,所以命题?p是假命题.(2)p:存在x∈R,有ln(x2+ax+2)<0或y=ln(x2+ax+2)的值不存在.即存在x∈R,有x2+ax+2<1,即存在x∈R,有x2+ax+1<0.只需Δ=a2-4>0,解得a<-2或a>2,所以?p是真命题时,a的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).B已知条件p:“存在x∈R,x2+2ax+2-a=0”,条件q:“任
8、意x∈[1,2],x2-a<0”,则p是q的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】p成立时,Δ=(2a)2-4(2-a)≥0即a≥1或a≤-2;q成立时,a>x2,x∈[1,2]恒成立,所以a>4,显然p⇒q,而q⇒p,故p是q的必要不充分条件.②④已知命题p:若实数x,y满足x2+y2=0,则x,y全为0;命题q:若a>b,则<.给出下列四个命题:①p且q;②p或q;③p;④q.其中真命题的序号为.【解析】因为p为真命题,q为假命题,所以“p且q”为假,“p或q”为真,“p”为假,“q”为真.CB【解析】
9、命题p为假命题,命题q为真命题,故A,C,D错误,答案选B.3.已知命题p:任意
