2020一轮北师大版（理）数学教案 第6章 第6节　数学归纳法含解析.doc

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1、第六节　数学归纳法[考纲传真]　1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是：(1)验证：当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时，命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立．2．数学归纳法的框图表示1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳

2、法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(　　)(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　)(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(2016·银川九中月考)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)A．1B．2C．3D．0C

3、　[因为凸n边形最小为三角形，所以第一步检验n等于3，故选C.]3．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k(k≥2，且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　)A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立B　[k为偶数，则k＋2为偶数．]4．(教材改编)已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝__________，a3＝__________，a4＝__________，猜想an＝__

4、________.3　4　5　n＋15．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋1)”由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是__________.【导学号：57962319】2k　[当n＝k时，不等式为1＋＋＋…＋

5、2时，左边＝f(1)＝1，右边＝2＝1，左边＝右边，等式成立.3分(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，6分那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，10分∴当n＝k＋1时结论仍然成立．由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*

6、).12分[规律方法]　1.用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．2．由n＝k时命题成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．[变式训练1]　求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*).【导学号：57962320】[证明]　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，左边＝右边.3分(2)假设n＝k时等式成立，即1－＋－＋

7、…＋－＝＋＋…＋，6分则当n＝k＋1时，＋＝＋＝＋＋…＋＋.10分即当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立.12分用数学归纳法证明不等式　用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式·…·>均成立．[证明]　(1)当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝.∵左边>右边，∴不等式成立.3分(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即·…·>.6分则当n＝k＋1时，·…·>·＝＝>＝＝.10分∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都

8、成立.12分[规律方法]　1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他方法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法．2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立，再证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．[变式训练2]　已知数列{an}，当n≥2时，an<