2020一轮北师大版（理）数学教案 第6章 第5节　综合法与分析法、反证法含解析.doc

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1、第五节　综合法与分析法、反证法[考纲传真]　1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．1．综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法．2．分析法从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这样的思维方法称为分析法．3．反证法(1)定义：在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的

2、结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．(2)反证法的证明步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．(　　)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．(　　)(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的

3、过程．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　　)A．综合法　　　　B．分析法C．反证法D．归纳法B　[要证明＋<2成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证明．]3．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根A　[“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”，故

4、选A.]4．已知a，b，x均为正数，且a>b，则与的大小关系是__________.【导学号：57962310】>　[∵－＝>0，∴>.]5．(教材改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为__________三角形．等边　[由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形．]综合法　已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E

5、，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．[证明]　(1)如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.2分在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，4分所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.5分(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，则Q是α与β的公共点.8分同理，P点也是α与β的公共点.9

6、分所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，则R∈α且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.12分[规律方法]　综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用．[变式训练1]　已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤g(x).【导学号：57962311】[解]　(1)f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2，2分由题意得解得

7、a＝0，b＝1.5分(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x>－1)．h′(x)＝－x2＋x－1＝.8分所以h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x).12分分析法　已知a>0，求证：－≥a＋－2.[证明]　要证－≥a＋－2，只需要证＋2≥a＋＋.2分因为a>0，故只需要证2≥，即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，8分从而只需