2020一轮北师大版(理)数学教案 第6章 第2节 基本不等式含解析.doc

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1、第二节 基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件:a≥0,b≥0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b.其中称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R);(2)+≥2(a,b同号且不为零);(3)ab≤2(a,b∈R);(4)2≤(a,b∈R).3.利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有

2、最小值是2(简记:积定和最小).(2)如果和x+y是定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y=x+的最小值是2.(  )(2)函数f(x)=cosx+,x∈的最小值等于4.(  )(3)x>0,y>0是+≥2的充要条件.(  )(4)若a>0,则a3+的最小值为2.(  )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(  )A.a2+b2>2ab

3、B.a+b≥2C.+>D.+≥2D [∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A错误;对于B,C,当a<0,b<0时,明显错误.对于D,∵ab>0,∴+≥2=2.]3.(2016·安徽合肥二模)若a,b都是正数,则的最小值为(  )【导学号:57962277】A.7  B.8C.9D.10C [∵a,b都是正数,∴=5++≥5+2=9,当且仅当b=2a>0时取等号.]4.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于(  )【导学号:57962278】A.1+B.1+C.3D.4C [当x>2时,

4、x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=(x>2),即x=3时取等号,即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3,选C.]5.(教材改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是__________m2.25 [设矩形的一边为xm,矩形场地的面积为y,则另一边为×(20-2x)=(10-x)m,则y=x(10-x)≤2=25,当且仅当x=10-x,即x=5时,ymax=25.]利用基本不等式求最值 (1)(2015·湖南高考)若实数a,b满足+=,则ab的最小值

5、为(  )A. B.2C.2D.4(2)(2017·郑州二次质量预测)已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是__________.(1)C (2)3 [(1)由+=知a>0,b>0,所以=+≥2,即ab≥2,当且仅当即a=,b=2时取“=”,所以ab的最小值为2.(2)由x2+2xy-3=0得y==-x,则2x+y=2x+-x=+≥2=3,当且仅当x=1时,等号成立,所以2x+y的最小值为3.][规律方法] 1.利用基本不等式求函数最值时,注意“一正、二定、三相等,和定积最大,积定和最小”

6、.2.在求最值过程中若不能直接使用基本不等式,可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形,使之能够使用基本不等式.[变式训练1] (1)(2016·湖北七市4月联考)已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式+≥m恒成立,则m的最大值等于(  )【导学号:57962279】A.10B.9C.8D.7(2)(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m,n满足m·n>0,m+n=-1,则+的最大值为__________.(1)B (2)-4 [(1)∵+=+=4+++1=5+2≥5+2×2=9,当且仅当a=

7、b=时取等号.又+≥m,∴m≤9,即m的最大值等于9,故选B.(2)∵m·n>0,m+n=-1,∴m<0,n<0,∴+=-(m+n)=-≤-2-2=-4,当且仅当m=n=-时,+取得最大值-4.] 利用基本不等式证明不等式 已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)++≥8;(2)≥9.[证明] (1)++=2,∵a+b=1,a>0,b>0,∴+=+=2++≥2+2=4,3分∴++≥8(当且仅当a=b=时等号成立).5分(2)法一:∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+=1+=2+,同理1+=2+,∴==5+2

8、≥5+4=9,10分∴≥9(当且仅当a=b=时等号成立).12分法二:=1+++,由(1)知,++≥8,10分故=1+++≥9.12分[规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键,代换变形后能使用基本不等式是代换的前提,不能盲目变形.2.利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果,必要时

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