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时间:2020-06-28
《2020一轮北师大版(理)数学教案 第4章 第4节 数系的扩充与复数的引入含解析.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四节 数系的扩充与复数的引入[考纲传真] 1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.会进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.1.复数的有关概念(1)复数的概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a,b分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+bi为实数,若b≠0,则a+bi为虚数,若a=0且b≠0,则a+bi为纯虚数.(2)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c,b=d(a,b,c,d∈R).(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c,b=-d(
2、a,b,c,d∈R).(4)复数的模:向量的模r叫作复数z=a+bi的模,即
3、z
4、=
5、a+bi
6、=.2.复数的几何意义3.复数代数形式的四则运算(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.==+i(c+di≠0).(2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.图441如图441所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即=+
7、,=-.1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.( )(2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( )(3)实轴上的点表示实数,虚轴上的点都表示纯虚数.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2.(教材改编)如图442,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是( )【导学号:57962216】图442A.A
8、B.BC.CD.DB [共轭复数对应的点关于实轴对称.]3.(2016·四川高考)设i为虚数单位,则复数(1+i)2=( )A.0B.2 C.2iD.2+2iC [(1+i)2=1+2i+i2=2i.]4.(2016·北京高考)复数=( )A.iB.1+iC.-iD.1-iA [法一:===i.法二:===i.]5.复数i(1+i)的实部为________.-1 [i(1+i)=-1+i,所以实部为-1.]复数的有关概念 (1)(2016·全国卷Ⅲ)若z=1+2i,则=( )A.1 B.-1 C.iD.-i(2)(
9、2017·陕西质检(二))设a是实数,且是一个纯虚数,则a=________.(1)C (2)-2 [(1)因为z=1+2i,则=1-2i,所以z=(1+2i)(1-2i)=5,则==i.故选C.(2)因为复数==+i为纯虚数,所以解得a=-2.][规律方法] 1.复数的分类、复数的相等、复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可.2.求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z,
10、然后利用复数模的定义求解.[变式训练1] (1)(2017·合肥二次质检)已知i为虚数单位,复数z=的虚部为( )【导学号:57962217】A.-B.-C.D.(2)设z=+i,则
11、z
12、=( )A.B.C.D.2(1)D (2)B [(1)复数z====+i,则其虚部为,故选D.(2)z=+i=+i=+i,
13、z
14、==.]复数代数形式的四则运算 (1)(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=( )A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i(2)(2016·天津高考)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(
15、1+i)(1-bi)=a,则的值为________.(1)C (2)2 [(1)∵(z-1)i=i+1,∴z-1==1-i,∴z=2-i,故选C.(2)∵(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,又a,b∈R,∴1+b=a且1-b=0,得a=2,b=1,∴=2.][规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把i的幂写成最简形式.2.记住以下结论,可提高运算速度(1)(1±i)2=±2i;(2)=i;(3)=-i;(4)-b+ai=i(a+bi);(5)i4n
16、=1;i4n+1=i;i4n+2=-1;i4n+3=-i(n∈N).[变式训练2] (1)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=( )【导学号:57962218】A.1+i B.1-iC.-1+iD.-1-i(2)已知i是虚数单位,+=__
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