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时间:2020-06-28
《2020一轮北师大版(理)数学教案 第2章 第12节 导数与函数的极值、最值含解析.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十二节 导数与函数的极值、最值[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).1.导数与函数的极值(1)函数的极大值与导数的关系x(a,x0)极大值点x0(x0,b)f′(x)+0-y=f(x)增加极大值减少图示(2)函数的极小值与导数的关系x(a,x0)极小值点x0(x0,b)f′(x)-0+y=f(x)减少极小值增加图示2.求f(x)在[a,b]上的最大(小)值(1)求函数y=
2、f(x)在(a,b)内的极值.(2)将函数y=f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,最大的为最大值,最小的为最小值.1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大.( )(2)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0为极值点的充要条件.( )(3)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.( )(4)若实际问题中函数定义域是开区间,则不存在最优解.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2.(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),
3、导函数f′(x)在(a,b)内的图像如图2121所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值点的个数为( )【导学号:57962113】图2121A.1 B.2 C.3 D.4A [导函数f′(x)的图像与x轴的交点中,左侧图像在x轴下方,右侧图像在x轴上方的只有一个,所以f(x)在区间(a,b)内有一个极小值点.]3.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件C [
4、y′=-x2+81,令y′=0得x=9或x=-9(舍去).当x∈(0,9)时,y′>0,当x∈(9,+∞)时,y′<0,则当x=9时,y有最大值.即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.] 4.(2016·四川高考)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=( )A.-4 B.-2 C.4 D.2D [由题意得f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0得x=±2,∴当x<-2或x>2时,f′(x)>0;当-25、,+∞)上为增函数.∴f(x)在x=2处取得极小值,∴a=2.]5.函数y=2x3-2x2在区间[-1,2]上的最大值是________.8 [y′=6x2-4x,令y′=0,得x=0或x=.∵f(-1)=-4,f(0)=0,f=-,f(2)=8,∴最大值为8.]利用导数研究函数的极值问题角度1 根据函数图像判断极值 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图像如图2122所示,则下列结论中一定成立的是( )图2122A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)6、和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)D [由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-2<x<1时,f′(x)<0;当1<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.] 角度2 求函数的极值 求函数f(x)=x-alnx(a∈R)的极值.[解] 由f′(x)=1-=,x>0知:(1)当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;5分(2)当a7、>0时,由f′(x)=0,解得x=a.又当x∈(0,a)时,f′(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,9分从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.12分角度3 已知极值求参数 (1)已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是( )【导学号:57962114】A.(-∞,0)B.C.(0,1)D.(0,+∞)(2)设f(x)=ln(1+x)-x-ax2,若8、f(x)在x=1处取得极值,则a的值为________.(1)B (2)- [(1)∵f(x)=x(lnx-ax),∴f′(x)=lnx-2ax+1,故f′(x)在(0,+∞)上
5、,+∞)上为增函数.∴f(x)在x=2处取得极小值,∴a=2.]5.函数y=2x3-2x2在区间[-1,2]上的最大值是________.8 [y′=6x2-4x,令y′=0,得x=0或x=.∵f(-1)=-4,f(0)=0,f=-,f(2)=8,∴最大值为8.]利用导数研究函数的极值问题角度1 根据函数图像判断极值 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图像如图2122所示,则下列结论中一定成立的是( )图2122A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)
6、和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)D [由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-2<x<1时,f′(x)<0;当1<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.] 角度2 求函数的极值 求函数f(x)=x-alnx(a∈R)的极值.[解] 由f′(x)=1-=,x>0知:(1)当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;5分(2)当a
7、>0时,由f′(x)=0,解得x=a.又当x∈(0,a)时,f′(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,9分从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.12分角度3 已知极值求参数 (1)已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是( )【导学号:57962114】A.(-∞,0)B.C.(0,1)D.(0,+∞)(2)设f(x)=ln(1+x)-x-ax2,若
8、f(x)在x=1处取得极值,则a的值为________.(1)B (2)- [(1)∵f(x)=x(lnx-ax),∴f′(x)=lnx-2ax+1,故f′(x)在(0,+∞)上
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