2020一轮北师大版（理）数学教案 第2章 第11节　导数与函数的单调性含解析.doc

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1、第十一节　导数与函数的单调性[考纲传真]　了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内增加的；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内减少的；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上增加，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.(　　

2、)(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．(　　)(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×2．函数y＝x2－lnx的递减区间为(　　)A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)B　[函数y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得0＜x≤1.]　3．(教材改编)如图2111所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图像，则下列判断中正确的是(　　)【导学号：57962105】图2111A．函数f(

3、x)在区间(－3,0)上是减少的B．函数f(x)在区间(1,3)上是减少的C．函数f(x)在区间(0,2)上是减少的D．函数f(x)在区间(3,4)上是增加的A　[当x∈(－3,0)时，f′(x)＜0，则f(x)在(－3,0)上是减少的．其他判断均不正确．]4．(2015·陕西高考)设f(x)＝x－sinx，则f(x)(　　)A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数B　[因为f′(x)＝1－cosx≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C.又因为f(0)＝0－sin0＝0，所以函数存在零点

4、，排除选项D，故选B.]5．(2014·全国卷Ⅱ)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)递增，则k的取值范围是(　　)A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)D　[由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)递增⇔f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥，而0<<1，所以k≥1，即k的取值范围为[1，＋∞)．]判断或证明函数的单调性　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．试讨论f(x)的单调性.【导学号：57962106】[解]　f′(x)＝3x2＋2ax，令

5、f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－.2分当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增加的；4分当a＞0时，x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在，(0，＋∞)上是增加的，在上是减少的；7分当a＜0时，x∈(－∞，0)∪时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0，10分所以函数f(x)在(－∞，0)，上是增加的，在上是减少的.12分[规律方法]　用导数证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)一求．求f′(x)；(2)二定．确认f′(x)在(a，b)内

6、的符号；(3)三结论．作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数．易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[变式训练1]　(2016·四川高考节选)设函数f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>1时，g(x)>0.[解]　(1)由题意得f′(x)＝2ax－＝(x>0).2分当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内是减少的．当a>0时，由f′(x)＝0有x＝，当x∈时，

7、f′(x)<0，f(x)是减少的；5分当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增加的.7分(2)证明：令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1.9分当x>1时，s′(x)>0，所以ex－1>x，从而g(x)＝－>0.12分求函数的单调区间　(2016·北京高考)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[解]　(1)因为f(x)＝xea－x＋bx，所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.2分依题设，即解得5分(2)由(

8、1)知f(x)＝xe2－x＋ex.由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号.7分令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.所以，当x∈(