2020一轮北师大版（理）数学教案 第2章 第2节　函数的单调性与最值含解析.doc

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1、第二节　函数的单调性与最值[考纲传真]　1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图像理解和研究函数的性质．1．函数的单调性(1)增、减函数增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2∈A当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的(2)单调区间和函数的单调性

2、①如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．②如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．2．函数的最值前提函数y＝f(x)的定义域为D条件(1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；(1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；(2)对于任意x∈D，都有f(x)≤M(2)对于任意x∈D，都有f(x)≥M结论M为最大值M为最小值1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”

3、，错误的打“×”)(1)函数y＝在其定义域上递减．(　　)(2)函数y＝＋x在其定义域上递增．(　　)(3)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且＞0，则函数f(x)在D上是增加的．(　　)(4)若函数f(x)的最大值是M，最小值是m，则函数f(x)的值域一定是[m，M]．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2．(2016·北京高考)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是(　　)【导学号：57962027】A．y＝　　　B．y＝cosxC．y＝ln(x＋1)D．y＝2－xD　[选项A中，y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y＝在(－1,

4、1)上为增函数；选项B中，y＝cosx在(－1,1)上先增后减；选项C中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上为增函数；选项D中，y＝2－x＝x在R上为减函数，故y＝2－x在(－1,1)上是减函数．]3．(教材改编)函数f(x)＝在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．，1　[f(x)＝＝＝2－在[1,2]上是增加的，∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(1)＝1.]4．函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________.【导学号：57962028】　[由题意知2k＋1＜0，得k＜－

5、.]5．f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的单调增区间为________，f(x)max＝________.[1,3]　8　[f(x)＝(x－1)2－1，故f(x)的单调增区间为[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.]函数单调性的判断　(1)函数f(x)＝log2(x2－1)的递减区间为________．(2)试讨论函数f(x)＝x＋(k＞0)的单调性．(1)(－∞，－1)　[由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是减函数

6、，所以函数f(x)＝log2(x2－1)的递减区间为(－∞，－1)．](2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝－＝(x2－x1)＋k＝(x2－x1).2分因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0.故当x1，x2∈(，＋∞)时，f(x1)＜f(x2)，即函数在(，＋∞)上递增.6分当x1，x2∈(0，)时，f(x1)＞f(x2)，即函数在(0，)上递减．考虑到函数f(x)＝x＋(k＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－)上递增，在(

7、－，0)上递减．综上，函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上递增，在(－，0)和(0，)上递减.12分法二：f′(x)＝1－.2分令f′(x)＞0得x2＞k，即x∈(－∞，－)或x∈(，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－)和(，＋∞).6分令f′(x)＜0得x2＜k，即x∈(－，0)或x∈(0，)，故函数的单调减区间为(－，0)和(0，).10分故函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上递增，在(－，0)和(0，)上递减.12分[规律方法]　1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后