江苏专版2020届高三数学备考冲刺140分问题04_函数与方程不等式相结合问题_含解析.doc

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1、问题4函数与方程、不等式相结合问题一、考情分析函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的热点和重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大,函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线,它们贯穿于高中数学的各个内容,求值的问题就要涉及到方程,求取值范围的问题就离不开不等式,但方程、不等式更离不开函数,函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.二、经验分享(1)确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法:①解方程法;②零点存在性定理、结合函数的性质;③

2、数形结合法:转化为两个函数图象的交点个数.(3)已知函数零点情况求参数的步骤①判断函数的单调性;②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组);③解不等式(组),即得参数的取值范围.(4)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合求解参数范围.(5)“a=f(x)有解”型问题,可以通过求函数y=f(x)的值域解决.三、知识拓展1.有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通

3、过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.2.三个等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.四、题型分析(一)函数与方程关系的应用函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题:二是在问题的研

4、究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点.【例1】已知函数()有四个不同的零点,则实数的取值范围是【分析】把函数()有四个不同的零点转化为方程有三个不同的根,再利用函数图象求解【解析】因为是函数的零点,则函数有四个不同的零点,等价于方程有三个不同的根,即方程有三个不同的根.记函数=.由题意y=与有三个不同的交点,

5、由图知,所以.实数的取值范围是是、【点评】零点问题也可转化为方程的根的问题,的根的个数问题,可以转化为函数和图象交点的个数问题,通过在直角坐标系中作出两个函数图象,从而确定交点的个数,也就是方程根的个数.【小试牛刀】【2018届2江苏徐州丰县高三上学期调考】.设函数(,为自然对数的底数),若曲线上存在一点使得,则的取值范围是.【答案】【解析】由题设及函数的解析式可知,所以.由题意问题转化为“存在,使得有解”,即在有解,令,则,当时,函数是增函数;所以,当,即.所以,故应填答案.(二)函数与不等式关系的应用函数与不等式都是高中数学

6、的重要内容,也都是高考的重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的.函数是高中数学的主线,方程与不等式则是它的重要组成部分.在很多情况下函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f(x),当y>0时,就转化为不等式f(x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而同时研究函数的性质,也离不开解不等式的应用.【例2】已知函数,,若对任意的,都有成立,则实数的取值范围为.【分析】根据题中条件:对任意的,都有成立,将问题转化为.再由题中所给两函数的特征:函数是一确定的分段函数,由它的图象不难求出函数的最大值;而另一个函数中含

7、有绝对值,由含有绝对值的不等式可求出它的最小值,即可得到不等式,则可求出的取值范围.【解析】对任意的,都有成立,即.观察的图象可知,当时,函数;因为,所以所以,,解得或,故答案为或.【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质,主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值问题.注意不等式:对是恒成立的.特别要注意等号成立的条件.渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识.且涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,它们是高考中考查的重点,所以在教学中我们应引引起高度的重视.【小试牛刀】

8、【2018届江苏省南京市高三12月联考】若不等式对任意的恒成立,则实数x的取值集合为________.【答案】【解析】画图可知,函数和函数连续在轴右边有相同的零点,令,得,代入中,得,或,注意到,所以实数的取值集合为,故填.(三)函数、方程和不等式关系的应用函数

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