江苏省普通高等学校2020年高三招生考试20套模拟测试附加题 数学试题七 含解析.doc

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1、江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O是△ABC的外接圆，点D是劣弧BC的中点，连结AD并延长，与以C为切点的切线交于点P，求证：＝.B.(选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M＝的一个特征值为－2，求M2.C.(选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中，已知直线C1：(t为参数)与椭圆C2：(θ为参数，a＞0)的一条

2、准线的交点位于y轴上，求实数a的值．D.(选修4-5：不等式选讲)已知正实数a，b，c满足a＋b2＋c3＝1，求证：＋＋≥27.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.(1)设＝λ，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，求λ的值；(2)若点D是AB的中点，求二面角DCB1B的余弦值．23.已知k，m∈N*，若存在互不相等的正整数a1，a2，…，am，使得a1a2，a2a3，…，am－1am，ama1同时小于k，则记f(k)为满足条

3、件的m的最大值．(1)求f(6)的值；(2)对于给定的正整数n(n≥2)：(ⅰ)当n(n＋2)＜k≤(n＋1)(n＋2)时，求f(k)的解析式；(ⅱ)当n(n＋1)＜k≤n(n＋2)时，求f(k)的解析式．(七)21.A.证明：连结CD，因为CP为圆O的切线，所以∠PCD＝∠PAC.又∠P是公共角，所以△PCD∽△PAC，(5分)所以＝.因为点D是劣弧BC的中点，所以CD＝BD，即＝.(10分)B.解：将λ＝－2代入＝λ2－(x－1)λ－(x＋5)＝0，得x＝3，故矩阵M＝.(5分)∴M2＝.(10分)C.解：直线C1：2x＋y＝9，椭圆C2：＋＝1(0＜a＜3)，(5分

4、)准线：y＝±.由＝9，得a＝2.(10分)D.证明：因为正实数a，b，c满足a＋b2＋c3＝1，所以1≥3，即ab2c3≤，(5分)所以≥27.因此，＋＋≥3≥27.(10分)22.解：(1)由AC＝3，BC＝4，AB＝5，得∠ACB＝90°.(1分)以CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)．设D(x，y，z)，则由＝λ得＝(3－3λ，4λ，0)，而＝(－3，0，4)，根据＝，解得λ＝或λ＝－.(5分)(2)＝，＝(0，4，4)，可取平面CDB1的一个法向量为n1＝(4，－3

5、，3)；(7分)而平面CBB1的一个法向量为n2＝(1，0，0)，并且〈n1，n2〉与二面角DCB1B相等，所以二面角DCB1B的余弦值为cosθ＝cos〈n1，n2〉＝.(10分)(第(1)题中少一解扣1分；没有交代建立直角坐标系过程扣1分．第(2)题如果结果相差符号扣1分)23.解：(1)由题意，取a1＝1，a2＝2，a1a2＜6，满足题意，若a3≥3，则必有a2a3≥6，不满足题意．综上所述：m的最大值为2，即f(6)＝2.(4分)(2)由题意，当n(n＋1)＜k≤(n＋1)(n＋2)时，设A1＝{1，2，…，n}，A2＝{n＋1，n＋2，n＋3，…}，显然，a

6、i，ai＋1∈A1时，满足aiai＋1≤n(n－1)＜n(n＋1)＜k，∴从集合A1中选出的ai至多n个．aj，aj＋1∈A2时，ajaj＋1≥(n＋1)(n＋2)≥k，∴从集合A2中选出的aj必不相邻．∵从集合A1中选出的ai至多n个，∴从集合A2中选出的aj至多n个，放置于从集合A1中选出的ai之间，∴f(k)≤2n.(6分)(ⅰ)当n(n＋2)＜k≤(n＋1)(n＋2)时，取一串数ai为1，2n，2，2n－1，3，2n－2，…，n－1，n＋2，n，n＋1，　或写成ai＝(1≤i≤2n)，此时aiai＋1≤n(n＋2)＜k(1≤i≤2n－1)，a2na1＝n＋1＜k

7、，满足题意，∴f(k)＝2n.(8分)(ⅱ)当n(n＋1)＜k≤n(n＋2)时，从A1中选出的n个ai：1，2，…，n，考虑数n的两侧的空位，填入集合A2的两个数ap，aq，不妨设nap＞naq，则nap≥n(n＋2)≥k，与题意不符，∴f(k)≤2n－1.取一串数ai为1，2n－1，2，2n－2，3，2n－3，…，n－2，n＋2，n－1，n＋1，n，或写成ai＝(1≤i≤2n－1)，此时aiai＋1≤n(n＋1)＜k(1≤i≤2n－2)，a2n－1a1＝n＜k，满足题意，∴f(k)＝2n－1.(10分)(写出(ⅰ)(ⅱ)题的