人教版高中数学课件：平面几何中的向量方法.ppt

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1、平面向量应用举例第一课时平面几何中的向量方法知识回顾1.两个向量的数量积：2.平面两向量夹角公式:3.求模：4.共线向量定理：5、平面向量基本定理：6、非零不共线向量满足，则m=,n=.00由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题．例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型．如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ABCDD

2、B＝AB－AD．AC＝AB＋AD，猜想：长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？类比猜想：平行四边形有相似关系吗？ABCD分析：不妨设AB＝a，AD＝b．则AC＝a＋b，DB＝a－b．ab

3、AB

4、2＝

5、a

6、2，

7、AD

8、2＝

9、b

10、2．遇到有关长度的问题时，我们常常需要考虑向量的数量积．以及求模公式ABCD解：ab

11、AC

12、2＝AC·AC＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝

13、a

14、2＋2a·b＋

15、b

16、2．同理　

17、BD

18、2＝

19、a

20、2－2a·b＋

21、b

22、2．所以　

23、AC

24、2＋

25、BD

26、

27、2＝2(

28、a

29、2＋

30、b

31、2)＝2(

32、AB

33、2＋

34、AD

35、2)．1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；3)把运算结果“翻译”成几何元素．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：可简单的表述为：[形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形]例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型．如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ABCDDB＝AB－AD．AC＝

36、AB＋AD，思考？如果不用向量的方法，你能证明上述关系吗？例2：如图，□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：AR＝RT＝TCABCDEFRT解：第一步：[形到向量]设　　　　　　　　　　　　　　　　则AB＝a，AD＝b，AR＝r，AC＝a＋b．第二步：[向量的运算]由于AR与AC共线，故设r=n(a+b)，n∈R．又因为ER与EB共线，所以设ER＝mEB＝m(a－b)，12ABCDEFRT因

37、为AR＝AE＋ER，所以r＝b＋m(a－b)，1212因此n(a+b)＝b＋m(a－b)，1212即(n－m)a＋(n+　　)b＝0m-12由于向量a，b不共线，n－m＝0n＋　　＝0m-1213解得：n＝m＝　．ABCDEFRT所以AR＝AC，13同理TC＝AC，13于是RT＝AC，13第三步：[向量和数到形]故AT＝RT＝TC．1、已知：AD、BE、CF是△ABC的三条中线；求证：AD、BE、CF交于一点．2、已知△ABC的三个顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则重心

38、G的坐标为____________________．3、用向量法证明：三角形三条高线交于一点．1、已知：AD、BE、CF是△ABC的三条中线；求证：AD、BE、CF交于一点．证明：如图AD、BE相交于点G，联结DE．ABCDEGF易知△GDE∽△GAB，DE＝AB．12所以，BG＝BE．23CG＝CB+BG＝CB+BE23＝CB+　(CA-CB)2312＝　(CB+CA)131、已知：AD、BE、CF是△ABC的三条中线；求证：AD、BE、CF交于一点．因此C、G、F三点在同一直线上．所以，AD

39、、BE、CF交于一点．所以CG＝CF，23＝　(CB＋CA)13即CG又因为CF＝　(CB＋CA)．12ABCDEGF2、　已知△ABC的三个顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则重心G的坐标为____________________．(　　　　，　　　　)x1+x2+x33y1+y2+y33OG＝OA＋AG＝OA＋AD23＝OA＋　(AB＋AC)13＝OA＋　(OB－OA＋OC－OA)13＝OA＋OB＋OC3解：设原点为O，则3、用向量法证明：三角形三条高线交于一点．AB

40、CDEHF证明：设H是高线BE、CF的交点，且设AB＝a，AC＝b，AH＝h，则有BH＝h－a，CH＝h－b，BC＝b－a．所以(h－a)·b＝(h－b)·a＝0．化简得h·(a－b)＝0AH⊥BC．因为BH⊥AC，CH⊥AB．所以，三角形三条高线交于一点．四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试判断四边形ABCD的形状．参考答案：四边形ABCD为矩形．△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设AB＝a，AC＝