北京大学高等数学.ppt

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1、§1．3序列的极限一、序列极限的定义⒉序列的极限⒊用定义证明极限举例⒈序列定义、序列举例、序列的几何意义极限的定义、极限的几何意义极限的唯一性、收敛序列的有界性收敛序列与其子序列间的关系二、夹逼定理三、收敛序列的性质极限的保序性四、极限的四则运算五、一个重要的极限1.序列的概念如可用渐近的方法求圆的面积？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积：．．．．．．1r四边形a2r八边形a3r十六边形一个实际问题．．．．．．序列：如果按照某一法则，使得对任何一个正整数n有一个确定的数xn，则得到一列有次序的数x1，x2，x3，…，xn，…这一列有次序的数就叫做序列，记为{xn

2、}，其中第n项xn叫做数列的通项．序列举例：序列举例：2，4，8，…，2n，…，通项为2n通项为12n1，-1，1，…，(-1)n+1，…；通项为(-1)n+1通项为通项为序列的几何意义：序列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数：xn=f(n)，它的定义域是全体正整数．x1x8x7x6x5x4x3x2xnOx序列与函数：x1=f(1)x2=f(2)x3=f(3)x4=f(4)x5=f(5)x6=f(6)．．．．．.xn=f(n)序列{xn}可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1，x2，x3，…，xn，…．2.序列的极限例如如果序列没有极限，就说序列是发

3、散的．xn=a．而序列{2n}，{(-1)n+1}，是发散的．序列的极限的通俗定义：对于序列{xn}，如果当n无限增大时，序列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a，则称常数a是序列{xn}的极限，或称序列{xn}收敛a．记为对无限接近的刻划：“当n无限增大时，xn无限接近于a”等价于：当n无限增大时，

4、xn-a

5、无限接近于0；或者说，要

6、xn-a

7、有多小，只要n足够大，

8、xn-a

9、就能有多小．极限的精确定义：定义如果序列{xn}与常数a有下列关系：对于任意给定的正数e(不论它多么小)，总存在正整数N，使得对于n>N时的一切xn，不等式

10、xn-a

11、

12、称常数a是序列{xn}的极限，或者称序列{xn}收敛于a，记为或xna(n)．如果序列没有极限，就说序列是发散的．用记号:序列极限的几何意义：对于任意给定的正数e，总存在正整数N，使得对于n>N时的一切xn，不等式

13、xn-a

14、N时，所有的点xn都落在区间(a-e,a+e)内，而只有有限(至多只有N个)在区间(a－e,a+e)以外.xOaa－ea+e()x1xNxN+1xN+2xN+3xN+5xN+4x2对于任意给定的正数e>0，3.用定义证明极限举例分析：证明：因为对

15、于任意给定的e>0，存在N=[1/e]，使当n>N时，有所以3.用定义证明极限举例也可写成:所以对于任意给定的e>0，要使只需故取分析：所以，证明：因为对任意给定的正数e>0，存在使当n>N时，有也可写成:所以例3设

16、q

17、<1，证明等比序列1，q，q2，…，qn-1，…的极限是0．对于任意给定的正数e>0，分析：要使例3设

18、q

19、<1，证明等比序列1，q，q2，…，qn-1，…的极限是0．使当n>N时，有

20、qn-1-0

21、=

22、q

23、n-1

24、qn-1-0

25、=

26、q

27、n-11是给定的实数,求证分析:对两边取对数,得证对令则当n>N时,即有于是证毕

28、.小结:证明序列{an}极限是l的一般步骤:⑴求差⑵对任给的⑶由不等式的解确定N,使得当n>N时,⑷最后完成证明.二、夹逼定理定理证即也即此即证毕.解也即显然由定理1,即得例⒍设k为大于1的正整数,证明证明由夹逼定理即得例⒎由夹逼定理,即得类似可证,对任意k>1,三、收敛序列的性质定理1(极限的唯一性)序列{xn}不能收敛于两个不同的极限．存在正整数N2，这是不可能的．这矛盾证明了本定理的断言．序列的有界性的定义：对于序列{xn}，如果存在着正数M，使得对一切xn都满足不等式

29、xn

30、M，则称序列{xn}是有界的；如果这样的正数M不存在，就说序列{xn}是无界的．

31、序列xn=2n(n=1，2，…)是无界的．定理2(收敛序列的有界性)如果序列{xn}收敛，那么序列{xn}一定有界．证明：设序列{xn}收敛，且收敛于a．根据序列极限的定义，对于，存在正整数N，使对于n>N时的一切xn，不等式

32、xn-a

33、N时，

34、xn

35、=

36、(xn-a)+a

37、

38、xn-a

39、+

40、a

41、<1+

42、a

43、．取M=max{

44、x1

45、，

46、x2

47、，…,

48、xN

49、，1+

50、a

51、}，那么序列{xn}中的一切xn都满足不等式

52、xn

53、M．这就证明了序列{xn}是有界的．定理2(收敛序列的有界性)如果序列{xn}收敛，那么序列{xn}一定有界．定理3设序

54、列各有极限