北京大学高等数学课件.ppt

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1、§2.9变上限定积分一、变上限定积分三、积分上限函数及其导数二、积分中值定理积分上限的函数积分上限的函数的导数一、变上限定积分设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点．考察函数f(x)在部分区间[a,x]上的定积分此定积分是区间[a,b]上的函数，称为变上限定积分，记为为避免混淆,积分变量和积分上限用不同字母,变上限定积分记为M证明因为mf(x)M，所以从而M(ba)my=f(x)f(x)dxm(ba)Oxyab引理设M及m分别是函数f(x)在外[a，b]上的最大值及最小值，则．二、积分中值定理

2、：定理1(积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点x，使下式成立：f(x)dxf(x)(ba)--------积分中值公式．y=f(x)Oxyabf(x)f(x)dx=f(x)(ba)证明由引理，各项除以ba,得再由连续函数的介值定理,在[a,b]上至少存在一点x,使于是两端乘以ba即得积分中值公式．，积分中值定理：定理1(积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点x，使下式成立：f(x)dxf(x)(ba)-

3、-------积分中值公式．定理2如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则其变上限积分在[a,b]上具有导数,并且它的导数是(x)f(x)(ax

4、，当Dx0时，xx．于是若xa，取Dx>0，则同理可证(a+0)f(a)；若xb，取Dx<0，则同理可证(b－0)f(b)．bOyxaxx+Dx说明:1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.例1设解把F(x)看作函数与y=2x+1的复合函数.例2求函数的导数解例3求函数的导数.故得作业习题2.71(1)(4),5,6在(0，)内为单调增加函数．故F(x)由假设，在[0,x](x>0)上f(t)>0，(xt)f(t)0且(xt)f(t)不恒为

5、零，所以从而F(x)>0(x>0)，这就证明了F(x)在(0,)内为单调增加函数．例4证令作业习题2.71(1)(4),5,6