北大微观经济学课件16现代数学工具基本知识.ppt

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1、现代数学工具基本知识（自修内容）商品空间上的拓扑映射与函数连续性原理隐函数存在定理集值映射二元关系1课件闭球B(x,r)点集：商品空间中的向量也叫做点，的子集叫做点集。开球：闭球：开集：能够表示成若干个开球的并的点集，叫做开集。易证：空集和全空间都是开集，任意个开集的并是开集，有限个开集的交是开集。拓扑：由的一切开集组成的集族，叫做空间上的拓扑。闭集：能够表示成某个开集的余集的点集，叫做闭集。易证：空集和全空间都是闭集，任意个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。一、商品空间上的拓扑开球B(x,r)开集X任何两个开球的交都是开集2课件内点：点x叫做集合X的内点，是指存在实数r>0使得以x为

2、中心、r为半径的开球B(x,r)包含在X中。内部：集合X的内点的全体叫做X的内部，记作intX或Xº。可以证明：Xº是包含在X中的最大开集；X是开集当且仅当X=Xº。邻域：我们把以x为内点的集合叫做x的邻域。可以证明：x的任何两个邻域的交仍然是x的邻域。(一)内点与邻域内点一、商品空间上的拓扑邻域U邻域V3课件(二)闭包与边界X一、商品空间上的拓扑附贴点：点x叫做集合X的附贴点，是指以点x为中心的任何开球B(x,r)(r>0)都与X相交。闭包：X的附贴点的全体，叫做X的闭包，记作clX或。可以证明：是包含X的最小闭集；X是闭集当且仅当。边界：集合叫做X的边界。可以证明：X是闭集当且仅当X包含

3、着它的边界。附贴点4课件(三)拓扑子空间一、商品空间上的拓扑子空间：赋予相对拓扑的点集X，叫做的拓扑子空间。所谓子空间X上的相对拓扑，是指由X与的开集之交所构成的集族(X)={XU:U是的开集}。(X)中的集合就叫做X的开集，也叫做相对开集。相对开集在X中的余集，叫做X的闭集，或称相对闭集。显然，X的子集M是相对闭集当且仅当M是X与的某个闭集的交集。例：半开半闭区间(1,2]既不是实数直线R中的闭集，也不是R中的开集。但在子空间(0,2]中，(1,2]是相对开集，这是因为(1,2]=(0,2](1,3)。M5课件(四)连通集(连通空间)一、商品空间上的拓扑连通集：赋予相对拓扑后，不能表

4、示成为两个非空且不相交的相对开集之并的子空间，叫做连通子空间或连通集。可以证明：对于点集X来说，X连通当且仅当X不能表示成两个非空且不相交的相对闭集之并。X连通当且仅当不存在满足下述条件的集合A与B：X=AB，A，B，AB=，AB=ABX不连通CDX连通6课件(五)有界集与紧集一、商品空间上的拓扑X下有界：(aR)(xX)(xa)。X上有界：(bR)(xX)(xb)。X有界：X既下有界，又上有界。X的开覆盖{Ut}tT：{Ut}tT是的开集族，并且XtTUt。紧集X：是指X的任何开覆盖都有有限子覆盖。定理设。X是紧集当且仅当X是有界闭集。X下有界

5、X上有界X的开覆盖7课件(六)凸集一、商品空间上的拓扑凸集：点集X叫做是凸集，是指X中任何两点之间的连线都在X中，即(x,yX)(t[0,1])(tx+(1-t)yX)。凸紧集：既是凸集，又是紧集的集合叫做凸紧集。凸紧集在经济分析中相当有用！凸包：X的凸包是空间中包含X的最小凸集，记作coX。X是凸集X不是凸集X的凸包coX8课件(七)一些重要事实一、商品空间上的拓扑定理设。intXXclX。X是开集X=intX。X是闭集X=clX。intX是包含在X中的最大开集，clX是包含X的最小闭集。X是闭集X中任何收敛点列的极限都仍在X中。X连通不存在满足下述条件的集合A与B：X

6、是紧集X是有界闭集。X是紧集X是闭集且X中的任何序列都有收敛子序列。X是紧集X的任何具有有限交性质的相对闭集族都具有非空的交。集族的有限交性质：集族中任何有限个集合的交集都非空。9课件二、映射与函数假定X和Y为两个任意给定的集合。映射f:XY是从X到Y的一种对应关系：对于X中的任一元素x，Y中都有唯一的元素y与之对应(这个元素y通常记作f(x))。X叫做f的定义域，Y叫做f的值域。图像：G(f)={(x,y)XY:y=f(x)}叫做映射f的图像。像或值集：集合f[M]={f(x):xM}叫做M(X)在f下的像或值集。原像：集合f[K]={xX:f(x)K}叫做K(Y)在f

7、下的原像。f:XY-1若f是从X到Y的映射，则f也是从X到f[X]的映射。函数：取值为实数的映射，叫做函数。即f:XY为函数是指YR(也即f[M]R)。XY10课件(一)几类典型的映射二、映射与函数单射f:XY：把不同的点映射成不同的点，即(x,yX)((xy)(f(x)f(y))满射f:XY：Y=f[X]，即(yY)(xX)(y=f(x))。双射f:XY：f既是单