十三 4.1向量组及其线性组合[1]b.ppt

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1、第四章向量组的线性相关性()()nBRAR==Û()()nBRAR<=Û有无穷多解.bAx=非齐次线性方程组齐次线性方程组第一节向量组及其线性组合一、n维向量的概念二、向量空间三、向量组与矩阵四、向量的线性组合和线性表示§4.1向量组及其线性组合一、n维向量的概念定义1:n个有次序的数a1,a2,···,an所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数ai称为第i个分量.分量全为实数的向量称为实向量,分量为复数的向量称为复向量.例如:(1,2,···,n)为n维实向量.(1+2i,

2、2+3i,···,n+(n+1)i)为n维复向量.第2个分量第n个分量第1个分量写成一行的n维向量,称为行向量,也就是行矩阵,通常用aT,bT,T,T等表示,如:写成一列的n维向量,称为列向量,也就是列矩阵,通常用a,b,,等表示,如:注意:1.行向量和列向量总被看作是不同的向量;2.行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算;3.当没有明确说明是行向量还是列向量时,都当作列向量.二、向量空间向　量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象:可随意平行移动的有向线段代数形

3、象:向量的坐标表示式坐标系当n3时,空　间解析几何线性代数点空间:点的集合向量空间:向量的集合坐标系代数形象:向量空间中的平面几何形象:空间曲线、空间曲面一一对应点(x,y,z)的集合——平面向量(x,y,z)T的集合当n>3时,向量不再有“几何”意义,仍沿用几何空间的名词.但其意义更为广泛.叫做n维向量空间.叫做n维向量空间Rn中的n–1维超平面.例如:在描述一空间运动物体时,不仅与所处的空间位置(x,y,z)有关,还与时间t有关,这就是四维时空空间,用向量表示为(x,y,z,t).机身的仰角机

4、身的水平转角(02);机翼的转角(-<);例如:确定飞机的状态,需要以下6个参数:飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z).所以确定飞机的状态需用6维向量(x,y,z,,,)表示.在日常工作,学习和生活中,有许多问题都需要用向量来进行描述.三、向量组与矩阵若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.例如:矩阵A=(aij)mn有n个m维列向量:向量组a1,a2,···,an称为矩阵A的列向量组.向量组1T,2T,···,mT称为矩阵A的行向量组.反

5、之,由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.类似地,矩阵A=(aij)mn有m个n维行向量:m个n维行向量所组成的向量组1T,2T,···,mT构成一个mn矩阵n个m维列向量所组成的向量组a1,a2,···,an构成一个mn矩阵线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应.四、线性组合与线性表示定义:给定向量组A:1,2,···,m,对于任何一组实数k1,k2,···,km,向量k11+k22+···+kmm称为向量组A:1,2,···,m的一个线性组合

6、,k1,k2,···,km称为这个线性组合的系数.线性表示：给定向量组A:1,2,···,m和向量b,如果存在一组数1,2,···,m,使b=11+22+···+mm则向量b是向量组A的线性组合,这时称向量b能由向量组A线性表示.即线性方程组11+22+···+mm=b有解.定义:设有两向量组A:1,2,···,m与B:1,2,···,s.若B组中的每一个向量都能由A组线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示;若向量组B与向量组A可以相互线性表示,则称

7、这两个向量组等价.定理1:向量b能由向量组A:1,2,···,m线性表示的充分必要条件是矩阵A=(1,2,···,m)与矩阵B=(1,2,···,m,b)的秩相等.若记A=(1,2,···,m)和B=(1,2,···,s),向量组B能由向量组A线性表示,即对每一个向量j(j=1,2,···,s),存在数k1j,k2j,···,kmj,使j=k1j1+k2j2+···+kmjm即从而矩阵K=(kij)ms称为这一线性表示的系数矩阵.若Cmn=AmsBsn,

8、则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示,B为这一表示的系数矩阵:同时,若Cmn=AmsBsn的行向量组能由B的行向量组线性表示,A为这一表示的系数矩阵:设矩阵A经初等行变换变成B,则B的每个行向量都是A的行向量组的线性组合,即B的行向量组能由A的行向量组线性表示.由初等变换可逆性可知:A的行向量组也能由B的行向量组线性表示.于是,A的行向量组与B的行向量组等价.类似地,若矩阵A经初等列变换变成B,则A的列向量组与B的列向量组等价.也就是说矩