华中科技大学复变函数与积分变换洛朗级数.ppt

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1、§4.4解析函数的洛朗展式1、双边幂级数2、解析函数的洛朗展式3、典型例题定义称级数（4.3）为复常数，称为双边幂级数（4.3）的系数为双边幂级数，其中一个以z0为中心的圆域内解析的函数f(z),可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数.如果f(z)在z0处不解析,则在z0的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示.但是这种情况在实际问题中经常遇到.因此,在本节中将讨论在以z0为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.4.4.1双边幂级数负幂项部分非负幂项部分主要部分解析部分同时收敛收敛f1(z)f2(z)f(z)收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H:R1az

2、0RrHf(z)=f1(z)+f2(z)时，收敛z02双边幂级数在圆环域内收敛.例如：双边幂级数这时,级数(4.3)在圆环H:r<

3、z-z0

4、

5、z-1

6、<1内也可以展开为z-1的负次幂级数:1Oxy函数在及都不解析,但在圆环域及内部都是解析的.先研究的情形:由此可见,内是可以展开为z的负次幂级数.定理4.7(洛朗定理)

7、在圆环H:r<

8、z-z0

9、

10、z-z0

11、

12、朗级数.一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的,这个级数就是f(z)的洛朗级数.其中注1：注２：注3：Taylor级数是Laurent级数的特殊情形注4：同一函数在不同区域内的展开式不同；例如在z=i和z=-i处展开函数为洛朗级数。展开点为i：f(z)在复平面内有两个奇点:z=0与z=-i,分别在以i为中心的圆周:

13、z-i

14、=1与

15、z-i

16、=2上.因此,f(z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个:1)在

17、z-i

18、<1中的泰勒展开式;2)在1<

19、z-i

20、<2中的洛朗展开式;3)在2<

21、z-i

22、<+中的洛朗展开式;O-ii展开点为-i：f(z)

23、在复平面内有一个奇点:z=0在以-i为中心的圆周:

24、z+i

25、=1上.因此,f(z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个:1)在0<

26、z+i

27、<1中的洛朗展开式;2)在1<

28、z+i

29、<+中的洛朗展开式。将函数展为洛朗级数常用方法:1.直接法2.间接法1.直接展开法利用定理公式计算系数然后写出缺点:计算往往很麻烦.4.4.3典型例题例1解：由定理知:其中故由柯西–古萨基本定理知:由高阶导数公式知:根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.优点:简捷,快速.2.间接展开法另解本例中圆环域的中心z=0既是各负幂项的奇点,例2内是处处解析的,试把f

30、(z)在这些区域内展开成洛朗级数.解：oxy1由12oxy2oxy由此时仍有注意:奇点但却不是函数的奇点.本例中圆环域的中心是各负幂项的说明:1.函数在以为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有的负幂项,而且又是这些项的奇点,但是可能是函数的奇点,也可能的奇点.不是2.给定了函数与复平面内的一点以后,函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析,因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例).回答：不矛盾.朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性:指函数在某一个给定的圆环域内的洛解：例3将函数及在z0=0的去心邻域内展成洛

31、朗级数.例4:求函数在圆环内的罗朗级数展式.解：由于，那么我们得而所以有例4解：习题内的洛朗展开式.解：