华南农大高数第2章中值定理及导数的应用.ppt

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1、微分中值定理与导数的应用中值定理洛必达法则泰勒公式导数的应用中值定理第一节学习重点理解罗尔定理掌握拉格朗日中值定理及其推论◆罗尔定理RolleTheorem(2)在开区间内可导；则在内至少存在一点，使(1)在闭区间上连续(3)若函数满足：罗尔定理的几何意义连续曲线y=f(x)的弧AB除端点外处处具有不垂直x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，则曲线弧上至少存在一点C，使得曲线在该点处的切线是水平的.xy◆罗尔定理的证明证明因为函数在[a,b]上连续，所以函数在[a,b]上一定有最大值M和最小值m.如果M=m，则则在区间内部的任何点处，都有如果m

2、不妨设则所以例1验证函数在区间上满足罗尔定理，并求出定理中的值。解因为函数在上连续，在内可导，且所以，函数在上满足罗尔定理而令得所以，即为所求的点。◆拉格朗日中值定理lagrangeTheorem若函数满足：(2)在开区间内可导；则在内至少存在一点，使(1)在闭区间上连续；xy几何意义:连续曲线y=f(x)的弧AB除端点外处处有不垂直x轴的切线，则弧上至少至少存在一点，使得曲线在点处的切线平行弦AB。◆拉格朗日定理的证明证明作辅助函数则在上连续，在内可导，且所以由Rolle定理，可知：在内至少存在一点，使得即所以，在内至少存在一点，使得推论：如果函数f(x)在区间I上的导数恒

3、为零，那末f(x)在区间I上是一个常数证明则由拉格朗日中值公式，得在由已知条件可知：在上连续，在内可导所以◆拉格朗日中值定理在微分学中的重要性拉格朗日中值定理公式：此公式给出了当自变量取得有限增量△x(不一定很小)时,函数增量△y的准确表达式.拉格朗日中值定理也称为微分中值定理即在由与构成的区间上应用，则有由Lagrange中值定理可知例2解因为所以即所以即为所求。练习解答例3证明证明令则在内满足Lagrange中值定理而所以而所以构造有关的函数确定应用区间应用Lagrange定理计算导数后的等式转化为不等式例4解所以即所以解题思路：