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1、可降阶的二阶微分方程第六节一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程一、令因此即同理可得依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.型的微分方程例1.解:型的微分方程设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、例２.求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为例３.绳索仅受重力作用而下垂,解:取坐标系如图.考察最低点A到(:密度,s:弧长)弧段重力大小按静力平衡条件,有故有设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?任意点M(x,y)弧段的受力情况:A点受水平张力HM点受切向张力T两式相除得则得定解问题:原方
2、程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为悬链线三、型的微分方程令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解例４.求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:M:地球质量m:物体质量例５.静止开始落向地面,求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力).解:如图所示选取坐标系.则有定解问题:代入方程得积分得一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由两端积分得因此有注意“－”号由于y=R时由原方程可得因此落到地面(y=R)时的速度和所需时间分别为说明:若此例改为如图所示的坐标系,解方程可得问:此时开方根号前应取什么符号?说明道理.则定解问题为例６.解初值问
3、题解:令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得为曲边的曲边梯形面积上述两直线与x轴围成的三角形面例７.二阶可导,且上任一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,区间[0,x]上以解:于是在点P(x,y)处的切线倾角为,满足的方程.积记为(99考研)再利用y(0)=1得利用得两边对x求导,得定解条件为方程化为利用定解条件得得故所求曲线方程为内容小结可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令令思考与练习1.方程如何代换求解?答:令或一般说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(
4、2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.P1651、(1)(３)(４)2、(１)(３)3、4作业速度大小为2v,方向指向A,提示:设t时刻B位于(x,y),如图所示,则有去分母后两边对x求导,得又由于设物体A从点(0,1)出发,以大小为常数v备用题的速度沿y轴正向运动,物体B从(–1,0)出发,试建立物体B的运动轨迹应满足的微分方程及初始条件.①机动目录上页下页返回结束代入①式得所求微分方程:其初始条件为机动目录上页下页返回结束
