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《高中数学 位置关系问题汇总（详细解析）新人教A版.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、题型1：直线与椭圆的位置关系例1．已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长解析：a=3,b=1,c=2，则F（-2，0）。由题意知：与联立消去y得：。设A（、B（，则是上面方程的二实根，由违达定理，，，又因为A、B、F都是直线上的点，所以
2、AB
3、=点评：也可让学生利用“焦半径”公式计算。例2．中心在原点，一个焦点为F1（0，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程解析：设椭圆的标准方程为，由F1（0，）得把直线方程代入椭圆方程整理得：。设弦的两个端点为，则由根与系数的
4、关系得：，又AB的中点横坐标为，，与方程联立可解出故所求椭圆的方程为：。点评：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F1（0，）知，c=，，最后解关于a、b的方程组即可例3．（2009北京理）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于-23-用心爱心专心两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线上的所有点都是“点”B．直线上仅有有限个点是“点”C．直线上的所有点都不是“点”D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【解析】
5、本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.本题采作数形结合法易于求解，如图，设，则，∵，∴消去n,整理得关于x的方程（1）∵恒成立，∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.【答案】A点评：本题主要考查椭圆的定义标准方程，直线与椭圆的位置关系及线段中点坐标公式。题型2：直线与双曲线的位置关系例5．（1）过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。（2）直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B
6、分别在双曲线的两支上？解析：（1）解：若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为则，，∴，-23-用心爱心专心，当时，方程无解，不满足条件；当时，方程有一解，满足条件；当时，令，化简得：无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条和。（2）把代入整理得：……（1）当时，。由>0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点。若A、B在双曲线的同一支，须>0，所以或。故当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上。点评：与双曲线只有一个公共点的
7、直线有两种。一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线。另一种是与双曲线相切的直线也有两条例7．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离心率的范围。解析：设双曲线的方程为，，渐近线，则过的直线方程为，则，代入得，∴即得，∴，即得到。点评：直线与圆锥曲线的位置关系经常和圆锥曲线的几何要素建立起对应关系，取值范围往往与判别式的取值建立联系题型3：直线与抛物线的位置关系例8．已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。解析：设与抛物线交于-23-
8、用心爱心专心由距离公式
9、AB
10、==由从而由于p>0，解得点评：方程组有两组不同实数解或一组实数解则相交；有两组相同实数解则相切；无实数解则相离。例10．(2009山东卷文)设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为().A.B.C.D.【解析】 抛物线的焦点F坐标为,则直线的方程为,它与轴的交点为A,所以△OAF的面积为,解得.所以抛物线方程为,故选B.【答案】B【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的
11、计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.例11．（2009全国卷Ⅱ文）已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k= ( )Ａ. Ｂ.Ｃ. Ｄ.【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由及第二定义知联立方程用根与系数关系可求k=.【答案】D1.如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的A.4倍
12、B.9倍-23-用心爱心专心C.12倍D.18倍解析:设两条准线间的距离是焦距的k倍，则=2ck,k=()2.由已知得a=3c,∴k=()2=32=9.答案:B2.椭圆+=1上一点P到左焦点F1的距离为2，M是线段PF1的中点，则M到原点O的距离等于A.2B.4C.6D.8解析:如图，易知
13、OM
14、=
15、PF2
16、,而
17、PF2
18、=2a－
19、PF1
20、=2×5－2=8,∴
21、OM
22、=4.答案:B3.AB为过椭圆+=1中心的弦，F(c,0)为
